Question

Найти наибольшее значение функции у= (sin^2*2x):(sin^4*x+cos^4*x)

Answer 1

$y= \frac{sin^2(2x)}{sin^4(x)+cos^4(x)}$
$y'= \frac{2sin(2x)*cos(2x)*2*(sin^4(x)+cos^4(x))}{(sin^4(x)+cos^4(x))^2} -$
$- \frac{sin^2(2x)*(4sin^3(x)*cos(x)-4cos^3(x)*sin(x))}{(sin^4(x)+cos^4(x))^2}$
На самом деле это одна дробь, просто я ее написал в 2 строки, потому что в одну не помещается на строке.
В точках максимумов и минимумов производная равна 0.
Значит, приравняем числитель к 0.
Знаменатель (sin^4 x + cos^4 x)^2 > 0, очевидно, при любом x.
4sin(2x)*cos(2x)*(sin^4(x) + cos^4(x)) -
- sin^2(2x)*4sin(x)*cos(x)*(sin^2(x) - cos^2(x)) = 0
Немного упрощаем
4sin(2x)*cos(2x)*(sin^4(x)+cos^4(x)) - 4sin^2(2x)*sin(2x)/2*(-cos(2x)) = 0
Выносим общие множители за скобки
4sin(2x)*cos(2x)*(sin^4(x)+cos^4(x)+sin^2(2x)/2) = 0
1) sin(2x) = 0, тогда y = 0
2) cos(2x) = 0, тогда sin^2 (2x) = 1; 2x = pi/2 + pi*n; x = pi/4 + pi/2*n
sin^4 (x) = (1/√2)^4 = 1/4; cos^4 (x) = (1/√2)^4 = 1/4
y = 1/(1/4 + 1/4) = 1/(1/2) = 2
3) sin^4(x) + cos^4(x) + sin^2(2x)/2 = 0
Это уравнение, очевидно, корней не имеет - сумма трех квадратов, которые не могут быть все трое равны 0 одновременно.
Ответ: максимальное значение функции y(pi/4 + pi/2*n) = 2

Answer 2

Для начала рассмотрим функцию у = (sin^2(2x))/(sin^4(x)+cos^4(x)). Чтобы найти наибольшее значение этой функции, мы можем воспользоваться производной.

Вычисление производной:

Для вычисления производной функции у по переменной x, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule) и правила дифференцирования для элементарных функций.

1. Правило дифференцирования сложной функции: Если у = f(g(x)), то у' = f'(g(x)) * g'(x).

2. Правило дифференцирования для sin^2(x): (sin^2(x))' = 2 * sin(x) * cos(x).

3. Правило дифференцирования для cos^2(x): (cos^2(x))' = -2 * sin(x) * cos(x).

4. Правило дифференцирования для sin^4(x): (sin^4(x))' = 4 * sin^3(x) * cos(x).

5. Правило дифференцирования для cos^4(x): (cos^4(x))' = -4 * sin(x) * cos^3(x).

Вычисление производной функции у:

Применяя правила дифференцирования, мы можем вычислить производную функции у:

у' = (2 * sin(2x) * cos(2x) * (sin^4(x) + cos^4(x)) - (sin^2(2x)) * (4 * sin^3(x) * cos(x) - 4 * sin(x) * cos^3(x))) / (sin^4(x) + cos^4(x))^2.

Поиск экстремумов:

Чтобы найти экстремумы функции у, мы должны решить уравнение у' = 0.

(2 * sin(2x) * cos(2x) * (sin^4(x) + cos^4(x)) - (sin^2(2x)) * (4 * sin^3(x) * cos(x) - 4 * sin(x) * cos^3(x))) / (sin^4(x) + cos^4(x))^2 = 0.

Это уравнение довольно сложное и его решение может быть нетривиальным. Для нахождения точных значений x, при которых производная равна нулю, необходимо применить методы численного решения уравнений.

Ответ:

В результате, чтобы найти наибольшее значение функции у = (sin^2(2x))/(sin^4(x)+cos^4(x)), необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю. Однако для точного нахождения этих значений необходимо использовать численные методы.