Question

Делится ли (5!)! на 2 в степени: а.100 б.120 в.115 г.110 Обязательно с принципом решения. Желательно более быстрый метод, чем прямой подсчет количества двоек, которое вмещает в себя (5!)!

Answer 1

Ответ:

$(5!)!$ делится на $2^{100}$, $2^{115}$ и $2^{110}$

$(5!)!$ не делится на $2^{120}$

Пошаговое объяснение:

$></p><p>Запишем количество чисел, которое кратно каждой степени двойки от 1 до 6 (7 и больше не подходит, так как <img src=$)

$2^1=2:~\dfrac{120}2=60\\\\2^2=4:~\dfrac{120}4=30\\\\2^3=8:~\dfrac{120}8=15\\\\2^4=16:~\left \lfloor{\dfrac{120}{16}}\right \rfloor=7\\\\2^5=32:~\left \lfloor{\dfrac{120}{32}}\right \rfloor=3\\\\2^6=64:~\left \lfloor{\dfrac{120}{64}}\right \rfloor=1$

Сложим все полученные цифры

$60+30+15+7+3+1=116$

Так как 2 простое число, и никакими другими способами (перемножением других чисел) получить мы ее не можем, значит в разложении $120!$ ровно $116$ двоек.

Значит $(5!)!$ нацело делится на $2^{100}$, $2^{115}$ и $2^{110}$

Answer 2

Чтобы определить, делится ли (5!)! (факториал от факториала 5) на 2 в степени какое-либо число, давайте применим принцип разложения на простые множители.

Сначала найдем значение (5!)!: (5!)! = (5 x 4 x 3 x 2 x 1)! = 120!

Теперь разложим 120! на простые множители. Для этого, давайте посчитаем, сколько в нем содержится множителей 2:

Для нахождения количества множителей 2 в разложении, вы можете использовать следующую формулу: Количество множителей 2 в n! = n/2 + n/4 + n/8 + ...

В нашем случае n = 120, поэтому: Количество множителей 2 в 120! = 120/2 + 120/4 + 120/8 + ...

Теперь разложим 120 на степени 2:

120 = 2^3 * 15

Таким образом, разложение 120! на простые множители выглядит следующим образом: 120! = 2^(3 * 15) * другие простые множители

Теперь, чтобы определить, делится ли (5!)! на 2 в какую-либо степень, мы должны вычислить значение 3 * 15 и затем проверить, делится ли (5!)! на 2 в эту степень.

3 * 15 = 45

Теперь у нас есть значение 3 * 15, и мы видим, что (5!)! разбивается на 2 в степени 45. То есть: (5!)! делится на 2 в степени 45.

Теперь давайте ответим на ваш вопрос: а. 100 - Нет, (5!)! делится на 2 в степени 45, что больше 100. б. 120 - Нет, (5!)! делится на 2 в степени 45, что больше 120. в. 115 - Нет, (5!)! делится на 2 в степени 45, что больше 115. г. 110 - Нет, (5!)! делится на 2 в степени 45, что больше 110.

Итак, (5!)! делится на 2 в степени 45, и ни один из предложенных вариантов (а, б, в, г) не является правильным ответом.