Question

24.5." Подайте число 180 у вигляді суми трьох невід'ємних доданків так, щоб два з них відносились як 1:2, а добуток усіх трьохдоданків був найбільшим,​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

х- першк число

2х- друге

(180 - 3x)- третє

Розглянемо функцію

f(x)=x⋅2x⋅(180−3x)

яка визначена на відрізку [0; 180] і знайдемо її найбільше значення на цьому відрізку

f(x)=2x2(180−3x)

f(x)=360x2−6x3

f′(x)=720x−18x2=18x(40−x)

f′(x)=0

при x = 0 і x = 40

Обідві точки входять до проміжку [0; 180]

f(0)=0

f(180)=2⋅1802⋅(180−3⋅180)<0

f(40)=2⋅402⋅(180−3⋅40)=3200⋅60=192000

max[0;180] f(x)=f(4)=192000

Отже перше число - 40, друге -80, а трете - 60

40 + 80 + 60=180  

Answer 2

Щоб знайти такі трі доданки, які задовольняли би умови в задачі, спочатку припустимо, що перший доданок дорівнює x. Тоді другий доданок буде дорівнювати 2x, і оскільки два з трьох доданків повинні відповідати співвідношенню 1:2, наші перший і другий доданки готові.

Давайте знайдемо третій доданок. За вихідними даними третій доданок дорівнюватиме 180 - (x + 2x) = 180 - 3x.

Тепер ми повинні знайти максимальне значення добутку всіх трьох доданків, тобто максимальне значення виразу x * 2x * (180 - 3x).

Для цього ми можемо взяти похідну від цього виразу відносно x, прирівняти його до нуля і знайти значення x, яке дасть нам максимальне значення.

Похідна цього виразу виглядає наступним чином:

d/dx (x * 2x * (180 - 3x)) = 2x * (180 - 3x) + x * (-3) = 360x - 6x^2 - 3x = 0.

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння відносно x:

360x - 6x^2 - 3x = 0 6x^2 + 363x - 0 = 0.

Ми можемо підсумувати це рівняння, отримаємо:

6x(x + 3) = 0.

Тоді маємо два варіанти: x = 0 або x = -3.

Оскільки ми шукаємо невід'ємні доданки, відповідним значенням для x буде x = 0.

Тому перший доданок буде 0, другий доданок буде 2 * 0 = 0, і третій доданок буде 180 - 3 * 0 = 180.

Отже, число 180 можна представити у вигляді суми трьох невід'ємних доданків так: 180 = 0 + 0 + 180.

Два з цих доданків у відношенні 1:2, і добуток всіх трьох доданків максимальний.