Question

F(x)=(1/3)*x^3-x^2 Знайти точку максимуму

Answer 1

Відповідь:

0

Покрокове пояснення:

спочатку знаходимо похідну

f(x)=x²-2x

далі прирівнюємо до нуля і знаходимо нулі функції

x²-2x=0  x(x-2)=0

x=0          x-2=0

                 x=2

далі потрібно возначити, на яких проміжках функція зростає або спадає

при x<0                                         при 0<x<2

x=-10                                             x=1

x²-2x=100+20=120                       x²-2x=1-2=-1

Функція зростає                         f спадає

цього достатньо, щоб сказати, що точка максимуму = 0

(якщо не зрозуміло, то я підставляв значення в похідну, якщо похідна більше 0 - то функція зростає, якщо менша 0 - то спадає, точка максимуму - це точка, де функція після зростання починає спадати (похідна с плюса на мінус))

Answer 2

Щоб знайти точку максимуму функції \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2\), потрібно взяти похідну від цієї функції та прирівняти її до нуля. Похідна функції \(F(x)\) виглядає так:

\[F'(x) = x^2 - 2x\]

Тепер прирівняємо \(F'(x)\) до нуля та розв'яжемо рівняння:

\[x^2 - 2x = 0\]

Розв'язавши це квадратне рівняння, отримаємо два корені: \(x = 0\) та \(x = 2\). Тепер ми маємо кандидатів на точки максимуму функції.

Щоб визначити, який з цих кандидатів відповідає точці максимуму, можемо використати другу похідну та тест діапазону. Друга похідна функції \(F(x)\) виглядає так:

\[F''(x) = 2x - 2\]

Підставимо значення \(x = 2\) в \(F''(x)\):

\[F''(2) = 2(2) - 2 = 2\]

Отже, \(F''(2) > 0\), що означає, що у точці \(x = 2\) функція має локальний мінімум.

Таким чином, єдиним кандидатом на точку максимуму є \(x = 0\). Підставимо \(x = 0\) у вихідну функцію \(F(x)\):

\[F(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0\]

Отже, точка максимуму функції \(F(x)\) знаходиться при \(x = 0\), а відповідне значення \(F(x)\) дорівнює 0.