Question

Вычисли площадь фигуры огранич. линиями: у=1+2sinx, у=0, x=0, x=Пи/2

Answer 1

Нормально решать через интегралы?

 

Легко понять, что, раз фигура ограничена снизу осью Ox, то нам надо просто найти площадь под графиком функции f(x)=2*sin(x)+1 от x=0 до x=π/2. Это не что иное как определённый интеграл. Надо найти сумму удвоенного интеграла sin(x)dx и интеграла dx от нуля до π/2. Это 2*(-cos(π/2) + cos(0)) + (π/2 - 0) = π/2 + 2.

 

 

 

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, можно воспользоваться формулой для вычисления площади под криволинейным графиком. В данном случае фигура ограничена графиком функции y=2sin(x), осью x, осью y, и линией x=0 и x=π/2.

Нахождение площади фигуры

Для начала, определим точки пересечения графика функции y=2sin(x) с осью x и осью y.

1. Пересечение с осью x: Установим y=0 и найдем соответствующие значения x: 0=2sin(x) sin(x)=0 x=0, π

2. Пересечение с осью y: Установим x=0 и найдем соответствующее значение y: y=2sin(0) y=0

Таким образом, фигура ограничена криволинейным графиком y=2sin(x), осью x, осью y, и линией x=0 и x=π/2.

Вычисление площади

Для вычисления площади фигуры можно воспользоваться определенным интегралом, который представляет собой разность между верхней и нижней границами фигуры.

Площадь фигуры S вычисляется по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \] где a и b - границы по оси x, f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция.

В данном случае, верхняя функция f(x) = 2sin(x), нижняя функция g(x) = 0, а границы интегрирования по оси x от 0 до π/2.

Вычисление определенного интеграла

\[ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2sin(x) - 0) dx \]

\[ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2sin(x) dx \]

Интегрируя функцию 2sin(x) по x от 0 до π/2, получаем: \[ S = [-2cos(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -2cos(\frac{\pi}{2}) - (-2cos(0)) \] \[ S = -2*0 - (-2*1) = 2 \]

Ответ

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной криволинейным графиком y=2sin(x), осью x, осью y, и линией x=0 и x=π/2, равна 2 квадратным единицам.