Question

Касательная к графику функции у=х(корень из х+2) в точке х0=4 пересекает ось Ох в точке А. найдите абсциссу точки А

Answer 1

$y=x \sqrt{x+2} , \ \ x_0=4$

Уравнение касательной:

$1)\ y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)$

Находим все необходимое:
$y'=(x)' \sqrt{x+2} +(\sqrt{x+2})'x=\sqrt{x+2}+ \frac{x}{2\sqrt{x+2}} \\ \\ y'(x_0)=\sqrt{4+2}+ \frac{4}{2\sqrt{4+2}} = \sqrt{6} + \frac{4}{2 \sqrt{6} } = \frac{16}{2 \sqrt{6} } = \frac{8}{\sqrt{6}} \\ \\ y(x_0)=4\sqrt{4+2}=4 \sqrt{6}$

Подставляем в уравнение касательной:

$y=\frac{8}{\sqrt{6}}(x-4)+4 \sqrt{6}$
Если график пересекает ось Х, то в этой точке у=0
Значит нужно найти координату х (абсциссу точки А)

$0=\frac{8}{\sqrt{6}}(x-4)+4 \sqrt{6} \\ \\ \frac{8}{\sqrt{6}}(x-4)+4 \sqrt{6}=0 \\ \\ \frac{8}{\sqrt{6}}x- \frac{32}{\sqrt{6}}-4 \sqrt{6} =0 \ |* \sqrt{6} \\ \\ 8x-32-4*6=0 \\ \\ 8x-32-24=0 \\ \\ 8x-56=0 \\ \\ 8x=56 \\ \\ x=56/8=7 \\ \\ OTBET: \ A=7$

Answer 2

Для начала, давайте найдем уравнение касательной к графику функции в точке A, где функция задана как y = x√(x^2).

Для того чтобы найти уравнение касательной, нам понадобится найти значение производной функции в точке x0 = 4. Производная функции показывает нам наклон касательной к графику функции в данной точке.

Для нахождения производной данной функции, мы можем использовать правило дифференцирования функции, содержащей корень. Правило гласит:

(d/dx) [x√(x^2)] = (√(x^2)) + x * (1/2) * (1/√(x^2)) * (2x)

Упрощая это выражение, получим:

(d/dx) [x√(x^2)] = (√(x^2)) + x^2 / (√(x^2))

(d/dx) [x√(x^2)] = x + x^2 / (√(x^2))

(d/dx) [x√(x^2)] = x + x

(d/dx) [x√(x^2)] = 2x

Теперь мы можем найти значение производной в точке x0 = 4:

(d/dx) [x√(x^2)] = 2 * 4

(d/dx) [x√(x^2)] = 8

Таким образом, наклон касательной к графику функции в точке A равен 8.

Теперь мы можем использовать полученный наклон и координаты точки A (которая пересекает ось Ox) для нахождения уравнения касательной.

Формула для уравнения касательной имеет вид:

y - y0 = m(x - x0)

где y0 - значение функции в точке x0, m - наклон касательной, x0 - абсцисса точки пересечения касательной с осью Ox.

Так как точка A пересекает ось Ox, то y0 будет равно 0, и уравнение примет вид:

y = m(x - x0)

Подставим значения:

0 = 8(x - 4)

Упростим это уравнение:

0 = 8x - 32

Теперь решим это уравнение относительно x:

8x = 32

x = 32/8

x = 4

Таким образом, абсцисса точки A равна 4.