Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 9 см2 . Радиус описанной окружности равен 4 см. Найти радиус вписанной окружности.

Answer 1

Ответ:

1 см

Пошаговое объяснение:

1) Так как треугольник АВС является прямоугольным, то это означает, что его прямой угол С опирается на диаметр, который в данном треугольнике является гипотенузой.

Таким образом, гипотенуза АВ треугольника АВС равна:

АВ = 4 * 2 = 8 см.

2) Выразим периметр треугольника АВС через отрезки, проведённые из вершин А и В к окружности, вписанной в треугольник.

Так как касательные к окружности, проведённые из одной точки, равны, то катет АВ будет будет равен расстоянию от вершинs А треугольника до точки касания с окружностью (обозначим это расстояние х) + радиус вписанной окружности r:

АВ = х + r.

Аналогично:

катет ВС = у + r,

где у - расстояние от вершины В треугольника до точки касания с вписанной окружностью;

соответственно гипотенуза

АВ = х+у = 8 см.

3) Таким образом, периметр треугольника АВС, выраженный через радиус вписанной в него окружности, равен:

Р = (х+r) + (y+r) + (х+у) = 2(х+у) + 2r = 2*8 + 2r = 16+ 2r.

4) С другой стороны, радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру:

r = S/p.

Зная периметр Р треугольника АВС, находим его полупериметр р:

р = Р :2 = (16+2r) : 2 = 8 + r.

Подставляем это значение в формулу радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник r = S/p, и по теореме Виета находим r, отбросив отрицательное значение второго корня (-9), так как радиус не может быть отрицательным:

r = S/p = 9 / (8+r),

откуда

r² + 8r - 9 = 0

r₁,₂ = -4 ± √(16+9) = -4 ± 5,

r = 1 см

Ответ: радиус вписанной окружности r = 1 см.

Answer 2

Для нахождения радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника, нам понадобится использовать следующую формулу:

r = (a + b - c) / 2

где r - радиус вписанной окружности, a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза прямоугольного треугольника.

В данном случае, площадь прямоугольного треугольника равна 9 см², поэтому мы можем использовать формулу для вычисления длины гипотенузы:

S = (a * b) / 2 = 9

Так как площадь треугольника равна половине произведения длин его катетов, мы можем найти значения катетов, зная площадь.

Допустим, катеты прямоугольного треугольника равны x и y. Тогда у нас есть уравнение:

(x * y) / 2 = 9

Решая это уравнение, мы можем найти значения катетов. Например, если мы возьмем x = 3 и y = 6, то мы получим площадь 9 см².

Теперь, когда у нас есть значения катетов, мы можем найти длину гипотенузы с помощью теоремы Пифагора:

c = sqrt(x^2 + y^2)

где sqrt - квадратный корень.

По условию задачи, радиус описанной окружности равен 4 см, поэтому у нас есть следующее уравнение:

r = (x + y - c) / 2 = 4

Теперь, подставляя значения катетов и гипотенузы в данное уравнение, мы можем найти радиус вписанной окружности.

Примерный решение:

Допустим, возьмем x = 3 и y = 6 (это одно из возможных решений). Тогда, используя формулу Пифагора, мы можем найти гипотенузу:

c = sqrt(3^2 + 6^2) = sqrt(45) ≈ 6.71 см

Теперь, используя формулу для радиуса вписанной окружности, мы можем найти его значение:

r = (3 + 6 - 6.71) / 2 ≈ 1.15 см

Таким образом, радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с площадью 9 см² и радиусом описанной окружности 4 см составляет примерно 1.15 см.