Question

Исследовать сходимость ряда на концах интервала ∞ ∑ n-1

Answer 1

Составляя отношение последующего члена ряда к предыдущему, получим после легкого упрощения |x-4|/4 * ((n+1)^2-4)/(n^2-4). При стремлении n к бесконечности, это выражение устремится к |x-4|/4
Чтобы ряд сходился по признаку Даламбера, это отношение должно быть меньше единицы, то есть находим область абсолютной сходимости: |x-4|<4, то есть x∈(0;8)
Теперь изучим сходимость на границе
Как можно видеть, как при х=0, так и при х=8, невозможно удовлетворить условиям хоть какой-нибудь теоремы (Абеля-Дирихле, Лейбница)

Answer 2

Для исследования сходимости ряда на концах интервала необходимо проанализировать его поведение при n стремящемся к бесконечности. В данном случае, у нас есть ряд ∑ (n-1) при n, который начинается с n=1 и идет до бесконечности.

Для начала, давайте рассмотрим сходимость этого ряда на левом конце интервала (n стремится к минус бесконечности). Поскольку мы начинаем с n=1, то ряд не будет сходиться на левом конце интервала ∞.

Теперь рассмотрим сходимость ряда на правом конце интервала (n стремится к плюс бесконечности). Для этого давайте преобразуем ряд:

∑ (n-1) = ∑ n - ∑ 1

Теперь рассмотрим каждую сумму по отдельности.

Первая сумма, ∑ n, является бесконечной гармонической прогрессией, которая расходится. Это можно показать, используя интегральный тест или сравнение с гармоническим рядом.

Вторая сумма, ∑ 1, является бесконечной арифметической прогрессией, которая также расходится.

Таким образом, ряд ∑ (n-1) на правом конце интервала ∞ также расходится.

В итоге, ряд ∑ (n-1) не сходится ни на левом, ни на правом конце интервала ∞.

Результат исследования:

Ряд ∑ (n-1) не сходится на концах интервала ∞.