Question

Определить промежутки монотонности y=2x³-3x²-36x+40

Answer 1

Y`(x)=6x^2-6x-36
y`(x)=0
6x^2-6x-36=0
D=36-4*6(-36)=900=30^2
x1=(6+30)/12=3
x2=(6-30)/12=-2
На промежутке(-∞;-2)-возрастает
На промежутке(-2;3)-убывает
На промежутке(3;+∞)-возрастает

Answer 2

Для определения промежутков монотонности функции y = 2x³ - 3x² - 36x + 40, нам необходимо найти производную этой функции и исследовать ее знаки.

1. Найдем производную функции y по x: y' = 6x² - 6x - 36.

2. Решим уравнение y' = 0 для определения критических точек функции: 6x² - 6x - 36 = 0. Разделим обе части уравнения на 6: x² - x - 6 = 0. Факторизуем это квадратное уравнение: (x - 3)(x + 2) = 0. Таким образом, получаем две критические точки: x₁ = 3 и x₂ = -2.

3. Построим таблицу знаков производной y': | x | -∞ | -2 | 3 | +∞ | |-------|-------|--------|-------|--------| | y' | - | + | - | + |

Из таблицы видно, что производная функции y' отрицательна на промежутке (-∞, -2) и (3, +∞), а положительна на промежутке (-2, 3).

4. Теперь мы можем сделать вывод о монотонности функции y: - Функция y монотонно возрастает на промежутке (-2, 3), так как производная y' положительна на этом интервале. - Функция y монотонно убывает на промежутках (-∞, -2) и (3, +∞), так как производная y' отрицательна на этих интервалах.

Таким образом, функция y = 2x³ - 3x² - 36x + 40 монотонно возрастает на промежутке (-2, 3) и монотонно убывает на промежутках (-∞, -2) и (3, +∞).