Question

Найти промежутки монотонности y=2x³-3x²-36x+5,

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

сначала производная и промежутки монотонности

y=2x³-3x²-36x+5

y' = 6x²-6x-36

критические точки

6x²-6x-36 = 0 ⇒ х₁=3;  х₂= -2

теперь у нас есть три интервала. смотрим на каждом знак производной и определяем возрастает или убывает функция

(-∞ ;-2) y'(-10) > 0 функция возрастает

(-2; 3)  y'(0) < 0    функция убывает

(3; +∞) y'(10) > 0   функция возрастает

Answer 2

Для найти промежутки монотонности функции $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 5$, мы должны найти производную этой функции и определить её знак на различных интервалах. Если производная положительна на каком-то интервале, то функция возрастает на этом интервале, а если отрицательна, то функция убывает. Давайте начнем с вычисления производной:

$y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 36x + 5)$.

Производная функции $2x^3$ равна $6x^2$. Производная функции $-3x^2$ равна $-6x$. Производная функции $-36x$ равна $-36$.

Теперь сложим все эти производные:

$y' = 6x^2 - 6x - 36$.

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

$6x^2 - 6x - 36 = 0$.

Для упрощения давайте разделим всё уравнение на 6:

$x^2 - x - 6 = 0$.

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители:

$(x - 3)(x + 2) = 0$.

Из этого уравнения видно, что $x = 3$ и $x = -2$ - это точки, в которых производная равна нулю.

Теперь мы знаем, что производная меняет знак в точках $x = -2$ и $x = 3$. Давайте используем тестовые точки в интервалах между этими точками, чтобы определить знак производной на каждом интервале.

1. Выберем $x = -3$ (меньше чем -2): Подставим $x = -3$ в $y'$: $6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36$. Так как это положительное число, производная положительна на интервале $(-\infty, -2)$.

2. Выберем $x = 0$ (между -2 и 3): Подставим $x = 0$ в $y'$: $6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36$. Так как это отрицательное число, производная отрицательна на интервале $(-2, 3)$.

3. Выберем $x = 4$ (больше чем 3): Подставим $x = 4$ в $y'$: $6(4)^2 - 6(4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36$. Так как это положительное число, производная положительна на интервале $(3, \infty)$.

Теперь мы знаем, что производная положительна на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(3, \infty)$, и отрицательна на интервале $(-2, 3)$. Это означает, что функция $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 5$ возрастает на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(3, \infty)$ и убывает на интервале $(-2, 3)$.