Question

Олимпиада по математике SOS Будет ли произведение двух натуральных чисел представленных в виде x^2+2y^2 где x и y натуральные числа, также представимо в таком виде

Answer 1

Ответ:

да будет х^2+2у^2

Пошаговое объяснение:

вроде-бы правильно

Answer 2

Ответ Да будет x^2+2y^2

Пошаговое объяснение:

Его нет

Answer 3

Представление числа в виде x^2 + 2y^2 называется квадратичной формой. В данном случае, нам задано произведение двух натуральных чисел, представленных в виде квадратичной формы.

Известно, что любое натуральное число может быть представлено в виде произведения двух натуральных чисел, если и только если оно является полным квадратом (т.е. квадратом некоторого натурального числа).

Исследуем квадратичную форму x^2 + 2y^2. Если она является полным квадратом, то существуют натуральные числа a и b такие, что a^2 = x^2 + 2y^2.

Проанализируем возможные значения для x и y:

1) Если x и y оба четные, то x^2 и 2y^2 также будут оба четными. Но сумма двух четных чисел не может быть полным квадратом, так как все полные квадраты нечетные. Значит, это не возможно.

2) Если x и y оба нечетные, то x^2 и 2y^2 также будут оба нечетными. Сумма нечетного и нечетного числа всегда является четным числом. Поэтому и в этом случае невозможно представить произведение двух натуральных чисел в виде квадратичной формы.

3) Если x четное, а y нечетное (или наоборот), то одно из слагаемых в квадратичной форме будет четным, а другое нечетным. Сумма четного и нечетного числа также будет нечетным числом, что в противоречии с тем, что произведение двух натуральных чисел представимо в виде квадратичной формы.

Таким образом, произведение двух натуральных чисел, представленных в виде x^2 + 2y^2, не может быть полным квадратом и, следовательно, невозможно представить в таком виде.