Question

Найдите промежутки убывания функции f(x) = -1/3x^3 - 1/2x^2 +2x -6.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x) = -1/3x³ - 1/2x² +2x -6

f'(x) = -x² - x +2

-x² - x +2=0

x²+x-2=0

x₁+x₂= -1

x₁x₂= -2

Критические точки:

x₁= -2

x₂=1

Наносим их на координатную прямую и на каждом промежутке определяем знак:

    +       -2      -           1      +        

Функция убывает на промежутке (-2;1)

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки убывания функции f(x) = -1/3x^3 - 1/2x^2 + 2x - 6, мы должны проанализировать производную функции и ее поведение на различных интервалах.

Шаг 1: Найдите производную функции f'(x)

Для нахождения промежутков убывания функции, мы должны найти производную функции f(x) и найти точки, где производная отрицательна.

Для нашей функции f(x) = -1/3x^3 - 1/2x^2 + 2x - 6, найдем производную функции f'(x):

f'(x) = d/dx (-1/3x^3) + d/dx (-1/2x^2) + d/dx (2x) + d/dx (-6) = -x^2 - x + 2

Шаг 2: Найдите точки, где f'(x) < 0

Теперь мы хотим найти точки, где производная f'(x) меньше нуля, так как это будет указывать на промежутки убывания функции.

Для этого мы решим неравенство f'(x) < 0:

-x^2 - x + 2 < 0

Шаг 3: Решите неравенство

Чтобы решить неравенство, мы можем использовать различные методы, такие как график, метод интервалов или факторизацию. Давайте воспользуемся методом интервалов:

1. Найдем корни уравнения -x^2 - x + 2 = 0, чтобы разбить прямую на интервалы. Решим это квадратное уравнение:

-x^2 - x + 2 = 0

(x + 1)(x - 2) = 0

Получаем два корня: x = -1 и x = 2.

2. Теперь, используя эти корни, мы можем построить интервалы и проверить знак производной на каждом интервале:

- Берем интервал (-∞, -1): -x^2 - x + 2 < 0 Учитывая, что коэффициент при x^2 отрицательный, неравенство меняет свой знак при переходе через корень -1. Таким образом, на этом интервале производная f'(x) положительна (+).

- Берем интервал (-1, 2): -x^2 - x + 2 < 0 Здесь неравенство остается отрицательным (-), так как коэффициент при x^2 отрицательный.

- Берем интервал (2, +∞): -x^2 - x + 2 < 0 Неравенство снова меняет свой знак при переходе через корень 2. Значит, на этом интервале производная f'(x) положительна (+).

Шаг 4: Вывод

Из нашего анализа производной f'(x) и интервалов, где она положительна или отрицательна, мы можем сделать вывод о промежутках убывания функции f(x) = -1/3x^3 - 1/2x^2 + 2x - 6:

1. Функция убывает на интервале (-∞, -1). 2. Функция возрастает на интервале (-1, 2). 3. Функция убывает на интервале (2, +∞).

Таким образом, мы нашли промежутки убывания функции f(x) = -1/3x^3 - 1/2x^2 + 2x - 6.