Question

СРОЧНО! чи може вершина параболи f(x)=x²-2(a+1)x+(2018/a) лежати в 1 чверті при деякому значенні параметра a? Відповідь обґрунтуйте

Answer 1

Положение вершины параболы определяется по формуле:

хо = -в/2а.

Подставим коэффициенты из заданного уравнения.

хо =  -(-2(а+1))/2*1 = а + 1.

Отсюда параметр а = хо - 1.

Чтобы вершина была правее оси Оу, значение хо должно быть положительным. То есть хо = а + 1 > 0.

Отсюда a > -1.

Далее, чтобы вершина была выше оси Ох, значение у должно быть больше 0: x²-2(a+1)x+(2018/a) > 0.

D = 4(a+1)² - 4*1*(2018/a) = 4a² + 8a + 4 - (4072/a).

Чтобы вершина была выше оси Ох надо, чтобы дискриминант был меньше 0: 4a² + 8a + 4 - (4072/a) < 0.

Получаем выражение $\frac{a^3+2a^2+a-1018}{a}$

Из него получаем a < 9,4043.

С учётом, что а не равно 0, получаем ответ.

Ответ: -1 < a < 0,  0 < a < 9,4043.

Answer 2

Відповідь: Ні, вершина параболи f(x) = x² - 2(a+1)x + (2018/a) не може лежати в 1-ій чверті при жодному значенні параметра a.

Оптична вершина параболи f(x) = ax² + bx + c знаходиться у точці з координатами (-b/2a, f(-b/2a)). У нашому випадку, a = 1, b = -2(a+1), c = 2018/a.

Знайдемо координати оптичної вершини: x-координата вершини: x = -(-2(a+1))/(2*1) = (2a + 2)/2 = a + 1 y-координата вершини: y = f(a + 1) = (a+1)² - 2(a+1)(a+1) + (2018/a)

Тепер розглянемо два випадки:

1) Якщо a > 0, то a + 1 > 1. Оскільки парабола відкрита вгору (a > 0), а x-координата вершини розташована правіше від вертикальної осі симетрії (x = 0), це означає, що вершина параболи не може знаходитись в 1-ій чверті.

2) Якщо a < 0, то a + 1 < 1. Оскільки парабола відкрита вниз (a < 0), а x-координата вершини розташована лівіше від вертикальної осі симетрії (x = 0), це означає, що вершина параболи не може знаходитись в 1-ій чверті.

Таким чином, незалежно від значення параметра a, вершина параболи f(x) = x² - 2(a+1)x + (2018/a) не може лежати в 1-ій чверті.