Question

В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L — середины рёбер А′С′ и В′С′ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L. а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.

Answer 1

Пусть А - начало координат.

Ось Х - АС

Ось Y - перпендикулярно X в сторону B

Ось Z - AA1

Координаты точек

С ( 6;0;0)

B ( 3;3√3;0)

M (3;0;3)

L ( 4,5;3√3/2;3)

K(0,5;√3/2;0)

Вектор BM ( 0; -3√3;3)

Уравнение плоскости y - параллельна оси X

by+cz+d = 0

Подставляем координаты точек К и L

√3b/2 + d  = 0

3√3b/2+3c+d =0

Пусть d = 4,5  - Тогда b = -3√3   с=3

Уравнение плоскости y

-3√3y + 3z + 4,5 =0

Нормальный вектор этой плоскости совпадает с вектором BМ - а значит прямая ВМ и плоскость y перпендикулярны .

Нормальное уравнение плоскости у

k= √((3√3)^2+3^2) = 6

-3√3y/k + 3z/k + 4,5/k =0

-√3y/2 + 0.5z + 3/4 =0

Подставляем координаты точки C в нормальное уравнение плоскости y

| C ; y | = 3/4

Answer 2

а) Для доказательства того, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ, достаточно показать, что она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости γ. Поскольку точка М является серединой ребра А′С′, то ВМ является медианой треугольника А′ВМ. Так как треугольник А′ВМ является прямоугольным (по свойству правильной треугольной призмы), то медиана ВМ является высотой этого треугольника. Высота прямоугольного треугольника всегда перпендикулярна к гипотенузе, поэтому прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ. б) Чтобы найти расстояние от точки С до плоскости γ, нужно найти перпендикуляр, опущенный из точки С на плоскость γ. Поскольку плоскость γ параллельна прямой АС, то перпендикуляр, опущенный из точки С на плоскость γ, будет параллелен прямой АС. Так как треугольник АВС является прямоугольным (по свойству правильной треугольной призмы), то прямая АС является гипотенузой этого треугольника. Таким образом, перпендикуляр, опущенный из точки С на плоскость γ, будет совпадать с высотой треугольника АВС, проходящей через точку С. Расстояние от точки С до плоскости γ равно длине этой высоты. Поскольку треугольник АВС является прямоугольным, то высота, опущенная на гипотенузу, равна половине произведения катетов. В данном случае, катеты равны 3 и 6 (по условию), поэтому расстояние от точки С до плоскости γ равно (3*6)/2 = 9.