Question

В футбольном турнире участвуют 29 команд. Докажите, что в любой момент найдется команда, сыгравшая четное число мат-чей.

Answer 1

Разобьем команды на 2 группы: те, которые сыграли четное число матчей(1 группа) и те, что сыграли нечетное(2 группа). Изначально все команды находятся в 1 группе. За 1 матч, кол-во команд в группе 1 может уменьшится на 2(если 2 команды с этой группы играли между собой), увеличится на 2(если 2 команды с группы 2 сыграли между собой) или не изменится вовсе(Если команда с группы 1 играла с командой с группы 2). Отсюда к группе1 за 1 матч может добавится или отняться ровно 2 команды. А так как в самом начале все команды находятся в группе 1 и их колво нечетное(29), то в группе 1 всегда будет нечетное колво команд, то есть хотя бы 1 команда

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле. Рассмотрим каждую команду как элемент множества, тогда у нас имеется 29 команд в турнире, что соответствует 29 элементам множества. Теперь предположим, что нет команды, которая сыграла четное число матчей. Это означает, что число сыгранных матчей для каждой команды будет нечетным. Рассмотрим сумму числа сыгранных матчей для всех команд. Если число сыгранных матчей для каждой команды нечетное, то сумма таких чисел также будет нечетной. Ведь сумма нескольких нечетных чисел всегда будет нечетной. Однако, известно, что общее число матчей в турнире должно быть четным, так как каждый матч имеет две команды. Это противоречит нашему предположению, что число сыгранных матчей для каждой команды нечетное. Следовательно, мы можем сделать вывод, что обязательно найдется команда, которая сыграла четное число матчей.