Question

13 команд мечников участвуют в королевском однокруговом турнире. Докажите, что в любой момент есть команда, сыгравшая четное число встреч. (Однокруговой турнир – это турнир, в котором каждая команда играет друг с другом ровно 1 раз).

Answer 1

Заметим, что в любой момент сумма матчей, сыгранных всеми участниками, четна (ведь каждый матч считается дважды — для двух его участников). Предположим, что в какой-то момент все участники сыграли нечетное количество матчей. Поскольку участников нечетное количество, то сумма сыгранных матчей нечетна. Противоречие. Значит, всегда найдется команда, сыгравшая четное число встреч.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию наоборот: предположим, что в какой-то момент все команды сыграли нечетное количество встреч. Это значит, что каждая команда сыграла (13 - 1) = 12 встреч.

Теперь посчитаем, сколько всего встреч было сыграно в турнире. Каждая из 13 команд должна сыграть по 12 встреч, что в сумме составляет 13 * 12 = 156 встреч.

Однако, мы знаем, что каждая встреча была засчитана дважды (раз для одной команды и раз для другой), так как каждая команда участвует во всех своих встречах. Таким образом, общее количество засчитанных встреч равно 156 * 2 = 312.

Это противоречит факту, что в турнире всего было 13 команд, и каждая из них должна сыграть по одной встрече с каждой другой командой, что в сумме дает (13 * (13 - 1)) / 2 = 78 встреч.

Таким образом, наше предположение о том, что все команды сыграли нечетное количество встреч, неверно. Следовательно, в любой момент времени обязательно существует хотя бы одна команда, сыгравшая четное количество встреч.