Question

Розв'язати однорідне диференційне рівняння першого порядкуdy/dx=(6x+5y)/(-5x+4y)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: на Ваш суд предлагаю свое решение)

Answer 2

Для розв'язання однорідного диференційного рівняння першого порядку, яке має вигляд dy/dx = (6x + 5y)/(-5x + 4y), можна скористатися методом розділення змінних. Спочатку перепишемо дане рівняння у вигляді: (-5x + 4y)dy = (6x + 5y)dx. Далі проведемо розділення змінних, перемістивши всі dx та dy у відповідні сторони рівняння: (-5x + 4y)dy - (6x + 5y)dx = 0. Тепер згрупуємо dx і dy разом: (-5x + 4y)dy + (5y + 6x)dx = 0. Розділимо обидві частини рівняння на (5x + 4y): (dy/dx)(-5x + 4y)/(5x + 4y) + (5y + 6x)/(5x + 4y) dx = 0. Зауважте, що (-5x + 4y)/(5x + 4y) є частковим похідним логарифму від (5x + 4y), тобто d(ln(5x + 4y))/dx. Аналогічно, (5y + 6x)/(5x + 4y) є частковим похідним логарифму від (5y + 4x), тобто d(ln(5y + 4x))/dy. Тепер наше диференціальне рівняння можна записати у наступному вигляді: d(ln(5x + 4y)) + d(ln(5y + 6x)) = 0. Враховуючи правило суми похідних логарифмів, ми можемо переписати рівняння так: d(ln((5x + 4y)(5y + 6x))) = 0. Тепер інтегруємо обидві частини рівняння відповідно до правила кратних інтегралів: ln((5x + 4y)(5y + 6x)) = C, де C - константа інтегрування. Щоб знайти остаточне рішення, потрібно виконати додаткову алгебраїчну операцію, а саме, взяти експоненту від обох боків рівняння: (5x + 4y)(5y + 6x) = e^C. Одержимо загальне рішення вигляду: (5x + 4y)(5y + 6x) = C. Таким чином, ми знайшли загальне рішення однорідного диференційного рівняння dy/dx = (6x + 5y)/(-5x + 4y).