Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА 2/1!+4/2!+6/3!+8/4!+⋯ Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера

Answer 1

Общий член ряда $a_n=\dfrac{2n}{n!}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n \to \infty}\dfrac{2(n+1)n!}{2n(n+1)!}= \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}=0$

Ряд сходится

Answer 2

Для исследования сходимости данного ряда, используем признак Даламбера. Признак Даламбера гласит, что если для ряда ∑(n=1 до ∞) an выполнены следующие условия: 1. an ≥ 0 для любого n (все элементы ряда неотрицательны). 2. Если для некоторого k выполняется условие: lim as n→∞ |(an+1) / an| = L, где L - число, то а) если L < 1, то ряд сходится абсолютно б) если L > 1, то ряд расходится в) если L = 1, то признак не работает и нужно использовать другие методы Итак, применяем признак Даламбера к данному ряду: Для an = (2n) / (n!) первым условием признака Даламбера является выполненным, так как все элементы ряда являются неотрицательными. Теперь рассмотрим отношение соседних членов ряда: lim as n→∞ |(an+1) / an| = lim as n→∞ |((2(n+1)) / ((n+1)!)) / ((2n) / (n!))| Общий знаменатель можно сократить: lim as n→∞ |2(n+1) / (2n + 1)| = lim as n→∞ |2(n+1)/(2(n + 1/2))| Упрощаем выражение: lim as n→∞ |(n+1)/(n + 1/2)| = lim as n→∞ |(n+1) / n * (2/2 + 1/2)| = lim as n→∞ |(n+1) / n * 3/2| = lim as n→∞ |(n+1) / (3n/2)| Здесь можно домножить числитель и знаменатель на (2/n), чтобы упростить дальше: lim as n→∞ |(n+1) / (3n/2)| = lim as n→∞ |(n+1) * (2/3n)| = lim as n→∞ |(n+1) * (2/3n) * (1/n)| = lim as n→∞ |2/3| Итак, мы получили, что предел отношения соседних членов ряда равен числу 2/3 (L = 2/3). Так как L < 1, по признаку Даламбера можно сделать вывод, что данный ряд сходится абсолютно. Таким образом, исследовав ряд с помощью признака Даламбера, мы пришли к выводу, что он сходится абсолютно.