Question

Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размером 239 на 566?

Answer 1

Большая сторона прямоугольника пересекает 566 клеток. Если рассмотреть прямоугольник 1 на 566, то его диагональ пересечёт 566+1 клетку. И казалось так будет и дальше. Но! Может случится так, что диагональ пройдёт через узел сетки и тогда пересечение клеток по вертикали совпадёт с пересечением клетки по горизонтали. Определим тангенс угла между диагональю и большей стороной: 239/566. 239 - простое число ⇒ дробь не сократима ⇒ не существует такого прямоугольно треугольника (меньше, чем 566 на 239 по катетам) в узлах сетки, чтобы тангенс его меньшего угла был равен 239/566. Таким образом мы доказали, что не будет тех самых пересечений в узлах сетки. А значит всего будет 566+239=805

Ответ: 805.

Answer 2

Диагональ клетчатого прямоугольника размером 239 на 566 будет пересекать в точности столько клеток, сколько существует квадратов со стороной 1, умещающихся на этой диагонали. Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой Пифагора. Если a и b - катеты прямоугольного треугольника, а c - его гипотенуза, то справедливо следующее выражение: a^2 + b^2 = c^2. В данном случае, a = 239 (длина прямоугольника) и b = 566 (ширина прямоугольника). Тогда c^2 = 239^2 + 566^2. Вычислим значение c^2: 239^2 = 57121 566^2 = 320356 c^2 = 57121 + 320356 = 377477 c = sqrt(377477) = 614.57 (округленное значение) Таким образом, длина диагонали прямоугольника равна примерно 614.57. Отсюда можно заключить, что диагональ будет пересекать 615 клеток.