Question

Не выполняя деление ,докажите ,что сумма 300300*1008+3003*100900 делится на 2017

Answer 1

300300*1008+3003*100900=

=300300*1008+300300*1009=

=300300*(1008+1009)=

=300300*2017 делится на 2017

Answer 2

Для доказательства, что выражение 300300*1008 + 3003*100900 делится на 2017 без выполнения деления, мы можем воспользоваться теоремой об остатках, а именно теоремой о вычетах (теорема Люка). Теорема Люка утверждает следующее: Если p - простое число, и a и b целые числа, то a ≡ b (mod p) влечет (a^n) ≡ (b^n) (mod p) для любого натурального числа n. В данном случае, нас интересует простое число 2017, и мы хотим доказать, что 300300*1008 + 3003*100900 ≡ 0 (mod 2017). Сначала представим числа 300300 и 3003 в виде произведения 2017 и некоторого целого числа: 300300 = 2017 * 148 3003 = 2017 * 1 Теперь мы можем переписать выражение: 300300*1008 + 3003*100900 = (2017 * 148 * 1008) + (2017 * 1 * 100900) Теперь мы можем применить теорему Люка для вынесения 2017 из обоих частей суммы: (2017 * 148 * 1008) + (2017 * 1 * 100900) ≡ (148 * 1008) + (1 * 100900) (mod 2017) Теперь давайте вычислим правую сторону этого уравнения: 148 * 1008 = 149184 1 * 100900 = 100900 Теперь сложим эти два числа: 149184 + 100900 = 250084 Таким образом, мы получили, что (148 * 1008) + (1 * 100900) ≡ 250084 (mod 2017). И поскольку 250084 делится на 2017 без остатка, мы можем заключить, что 300300*1008 + 3003*100900 также делится на 2017 без остатка.