Question

Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел 1)от 1 до 10 включительно; 2)от 15 до 24 включительно; 3)от 10 до 30 включительно; 4)от 1 до 100 включительно? (решение с рассуждением)

Answer 1

(1)10 (2)20 (3)10,30,20(4)10,20,30,40,50,60,70,80,90,100

Answer 2

Произведение оканчивается на 0, если оно кратно 5 и 2. Значит, сколько пар пятёрок и двоек есть в множителях, столько и нулей будет на конце произведения. Двойки содержатся в каждом втором множителе, нам надо узнать, сколько всего пятёрок содержится в числах от 41 до 64 включительно.
45=9*5
50=2*5*5
55=5*11
60=2*2*3*5
Ответ. 5 нулей

Answer 3

1) Произведение всех натуральных чисел от 1 до 10 включительно будет равно 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 3628800. Чтобы определить количество нулей в этом числе, нужно посмотреть сколько раз произведение содержит множитель 10, то есть 2 * 5. В числе от 1 до 10 включительно множитель 10 встречается один раз, поэтому произведение оканчивается на один ноль. 2) Произведение всех натуральных чисел от 15 до 24 включительно будет равно 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 * 21 * 22 * 23 * 24 = 1307674368000. Здесь нужно посмотреть сколько раз произведение содержит множитель 10. Оно содержит его два раза - один раз в числе 20 и еще один раз в числе 10. Поэтому произведение оканчивается на два нуля. 3) Произведение всех натуральных чисел от 10 до 30 включительно необходимо разбить на два произведения: от 10 до 20 и от 21 до 30. 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 = 2432902008176640000, произведение от 10 до 20. Для определения числа нулей здесь нужно посмотреть сколько раз произведение содержит множитель 10. Оно содержит его один раз - в числе 10. Теперь рассмотрим произведение от 21 до 30: 21 * 22 * 23 * 24 * 25 * 26 * 27 * 28 * 29 * 30 = 2652528598121910586000000. Здесь множитель 10 встречается один раз, в числе 30. В результате произведение всех натуральных чисел от 10 до 30 включительно оканчивается на один ноль. 4) Произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно будет очень большим числом. Это произведение можно разбить на два произведения: от 1 до 10 и от 11 до 100. Произведение от 1 до 10 составляет 3628800 и имеет один ноль в конце, как мы уже выяснили ранее. Теперь рассмотрим произведение от 11 до 100. В нем содержится множитель 10 каждый раз, когда у числа есть множитель 2 и множитель 5. Числа, которые содержат множитель 2: 12, 14, 16, ..., 98. Всего 45 таких чисел. Числа, которые содержат множитель 5: 15, 25, 35, ..., 95. Всего 19 таких чисел. Получается, что в промежутке от 11 до 100 содержится 45 + 19 = 64 числа, которые содержат множитель 10. Таким образом, произведение чисел от 1 до 100 оканчивается на 64 нуля.