Question

в школьной олимпиаде по математике принимали участие 9 учащихся 6 класса. За каждую задачу, которая решена, ученик получал 2 балла, а за каждую нерешенной задачу списывали 1 балл. Всего было 10 задач. Доказать, что среди участников олимпиды найдется хотя бы два ученика, которые набрали одинаковое число баллов. (Считать, что ученик, набравший более штрафных баллов, чем зачетных, получает 0 баллов.)

Answer 1

Пусть x задач решено. Тогда количество баллов будет 2x - (10 - x) = 3x - 10. 3x - 10 > 0 при x ≥ 4. Рассмотрим два случая. Если есть ученики, решившие одинаковое количество задач, то этот случай нам уже подходит. Рассмотрим другой случай, когда абсолютно все ученики решили разное число задач. 7 учеников набрали сколько-то баллов, если решили не меньше четырёх задач. Тогда оставшиеся 2 набрали по нулям, что тоже нам подходит. Следовательно, в любом случае имеются ученики, набравшие одинаковое число баллов.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле. У нас есть 9 учеников и 10 задач. Пусть каждому ученику соответствует число - сумма баллов, которые он получил за решение задач. Возможные значения для каждого ученика - от 0 до 20 баллов. Если ученик получит 0 баллов, то он либо не решил ни одной задачи, либо решил все задачи неправильно. Если ученик получит 20 баллов, то он решил все задачи правильно. Таким образом, всего возможных значений для суммы баллов 21 (от 0 до 20). Но у нас всего 9 учеников, поэтому, по принципу Дирихле, как минимум два ученика должны набрать одинаковое количество баллов. Таким образом, хотя бы два ученика, участвующих в олимпиаде, набрали одинаковое число баллов.