Question

Решите систему неравенства √(5х-3)<=3 и 2^(x-1)-3*2^(x+2)>=-23

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Решим систему неравенств поочередно.

1) √(5x-3) ≤ 3
Квадратируем обе части неравенства, тем самым сохраняя его справедливость:
5x - 3 ≤ 9
5x ≤ 12
x ≤ 12/5

2) 2^(x-1) - 3*2^(x+2) > -23
Перепишем эту неравенство с помощью тождества: 2^(a-b) = (1/2)^(b-a)
(1/2)^(1-x) - 3*(1/2)^(x+2) > -23
При помощи того же тождества приведём выражение к общему знаменателю:
(1/2)^(3+x) - 3*(1/2)^(x+2) > -23

Обозначим (1/2)^(x + 2) как у.
y = (1/2)^(x + 2)

Тогда получаем систему неравенств:
y^2 - 3y > -23

Решим квадратное уравнение:
y^2 - 3y + 23 > 0

Дискриминант квадратного уравнения равен D = 9 - 92 = -71, что означает что уравнение не имеет действительных корней, следовательно, y^2 - 3y + 23 > 0 для любого значения y.

Таким образом, система неравенств 2^(x-1) - 3*2^(x+2) > -23 не имеет ограничений на x.

Ответ: x ≤ 12/5