Question

2 sin^2 x - 5 cos x + 1 = 0

Answer 1

$2sin^2x-5cosx+1=0\\\\2(1-cos^2x)-5cosx+1=0\\\\2cos^2x+5cosx-3=0\\\\D=25+24=49,\\\\(cosx)_1= \frac{-5-7}{4} =-3\; \; net\; reshenij\; ,\; t.k.\; |cosx| \leq 1\\\\(cosx)_2= \frac{-5+7}{4} =\frac{1}{2}\\\\x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in Z$

Answer 2

Sin²x=1-cos²z
2(1-cos²x)-5cosx+1=0
2-2cos²x-5cosx+1=0
cosx=a
2a²+5a-3=0
D=25+24=49
a1=(-5-7)/4=-3⇒cosx=-3<1 нет решения
a2=(-5+7)/4=1/2⇒cosx=1/2⇒x=+-π/3+2πn,n∈z

Answer 3

Для начала решим уравнение \(2\sin^2(x) - 5\cos(x) + 1 = 0\). Давайте найдем значения \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\), используя тригонометрические тождества.

Преобразование уравнения

Для этого уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества, такие как \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), чтобы выразить одну тригонометрическую функцию через другую.

Замена переменных

Давайте заменим \(\sin^2(x)\) в уравнении на \(1 - \cos^2(x)\), чтобы свести уравнение к одной тригонометрической функции.

\[2(1 - \cos^2(x)) - 5\cos(x) + 1 = 0\]

Раскроем скобки:

\[2 - 2\cos^2(x) - 5\cos(x) + 1 = 0\]

Получение квадратного уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\):

\[2\cos^2(x) + 5\cos(x) - 3 = 0\]

Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или методов факторизации. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта.

Формула дискриминанта

Для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) формула дискриминанта выглядит следующим образом: \[D = b^2 - 4ac\]

Решение

\[a = 2, b = 5, c = -3\]

\[D = 5^2 - 4*2*(-3) = 25 + 24 = 49\]

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у уравнения есть два действительных корня.

Нахождение корней

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\] \[x = \frac{{-5 \pm \sqrt{49}}}{{4}}\] \[x_1 = \frac{{-5 + 7}}{{4}} = 1\] \[x_2 = \frac{{-5 - 7}}{{4}} = -3\]

Ответ

Таким образом, уравнение \(2\sin^2(x) - 5\cos(x) + 1 = 0\) имеет два решения: \(x = 1\) и \(x = -3\).