Question

Основанием пирамиды является ромб ,диагонали которого равны 4 см и 8 см .Найдите сторону основания и боковые ребра пирамиды ,если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см . Помогите пожалуйста,буду благодарна!

Answer 1

Ответ: боковые стороны: 2√5 см, 4√5 см, 2√5 см, 4√5 см; стороны основания -- 2√5 см.

Пошаговое объяснение:

1. Рассмотрим треугольник AFD.

∠F = 90° (диаг. ромба ⊥)

AF = 1/2AC = 4 см, FD = 2 см (диаг. ромба делятся точкой пересечения пополам)

По теореме Пифагора:

$AD=\sqrt{AF^2+FD^2}= \sqrt{4^2+2^2}= \sqrt{20}=2\sqrt{5}cm$

Так как стороны ромба равны (по опр.), то все стороны основания найдены.

2. Рассмотрим треугольники BFE и DFE:

1) BF = FD (св-во ромба)

2) EF -- общая

3) ∠BFE = ∠DFE = 90° (EF ⊥ (ABC) ⇒ ⊥ любой прямой в (ABC))

Следовательно, ΔBFE = ΔDFE по двум катетам.

Из равенства треугольников ⇒ BE = ED

Рассмотрим треугольники AFE и DFE:

1) AF = FE = 4 см (пункт 1 и условие)

2) FD -- общая

3) ∠AFD = ∠DFE = 90° (из решения п. 1, 2)

Следовательно, ΔAFE = ΔDFE по двум катетам.

Из равенства треугольников ⇒ AD = ED = 2√5 см

3. Рассмотрим треугольники AFE и CFE:

1) AF = FC (св-во ромба)

2) EF -- общая

3) ∠AFE = ∠CFE = 90° (EF ⊥ (ABC) ⇒ ⊥ любой прямой в (ABC))

Следовательно, ΔAFE = ΔCFE по двум катетам.

Из равенства треугольников ⇒ AE = EC

Рассмотрим ΔEFC:

∠F = 90°, EF = 4 см (по усл.), FC = 4 см (пункт 1)

По теореме Пифагора:

$EC=\sqrt{EF^2+FD^2}= \sqrt{4^2+4^2}= \sqrt{32}=4\sqrt{2} cm$

Answer 2

Рассмотрим задачу подробнее.

Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания. Так как ромб является параллелограммом, то высота является биссектрисой основания.

Таким образом, биссектриса разделяет ромб на два равных треугольника. Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, где она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные длинам прилежащих сторон треугольника.

Пусть x - сторона ромба (сторона основания пирамиды), а h - высота ромба (высота пирамиды). В равнобедренном треугольнике, образованном биссектрисой и стороной ромба, пропорция будет выглядеть следующим образом:
x/4 = (x/2 - h)/h

Решим эту пропорцию и найдем значение х (стороны основания пирамиды):
x/4 = (x/2 - 4)/4 Раскроем скобки
x/4 = (x - 8)/8 Умножим на 8
2x = x - 8
x = -8 Отбросим отрицательное значение, так как сторона не может быть отрицательной.
x = 8 см

Таким образом, сторона основания пирамиды равна 8 см.

Теперь рассмотрим боковые ребра пирамиды. Они являются радиусами вписанных в пирамиду сфер. Так как у нас есть диагонали ромба, которые являются диаметрами этих сфер, можем найти радиусы данных сфер.

Радиус сферы, вписанной в ромб с диагональю 4 см, равен половине диагонали:
r1 = 4/2 = 2 см

Радиус сферы, вписанной в ромб с диагональю 8 см, равен половине диагонали:
r2 = 8/2 = 4 см

Теперь, чтобы найти боковые ребра пирамиды, нам нужно найти высоту выпуклой части пирамиды (высота треугольника, образованного двумя радиусами).

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике, образованном радиусами и высотой:
(4+4)^2 = 8^2 + h^2
8^2 = 64
64 = 64 + h^2
h^2 = 0
h = 0

Таким образом, высота выпуклой части равна 0, что означает, что данная пирамида не является правильной пирамидой.

Для решения задачи использовались свойства ромба (биссектриса, пропорции сторон) и свойства вписанных сфер (радиусы, высота треугольника, теорема Пифагора).