Question

Как доказать что всякая дробь при сокращении уменьшается?

Answer 1

При сокращении дробь заменяют равной дробью с меньшим числителем и меньшим знаменателем.

Answer 2

Чтобы доказать, что всякая дробь при сокращении уменьшается, нужно понять, что такое сокращение дробей и как оно влияет на значение дроби.

Сокращение дробей заключается в упрощении дроби путем деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Например, дробь 4/8 можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 4, и получить дробь 1/2.

Докажем, что после сокращения дроби она уменьшается:

Предположим, что у нас есть две дроби a/b и c/d, и a/b > c/d (дробь a/b больше дроби c/d). Мы хотим доказать, что после сокращения, новая дробь a'/b' будет по-прежнему больше сокращенной дроби c'/d', то есть a'/b' > c'/d'.

Сократим дроби a/b и c/d, получив a'/b' и c'/d'. Поскольку a/b > c/d, мы знаем, что a/b может быть записано в виде c/d * k, где k > 1, так как a/b больше c/d.

Теперь применим сокращение к обеим дробям:

a/b = c/d * k a'/b' = c'/d' * k

Поскольку a/b > c/d, мы знаем, что k > 1. Также мы знаем, что сокращенные дроби a'/b' и c'/d' не могут быть записаны в виде той же дроби, умноженной на число k, так как мы уже сократили их до необходимого уровня.

Итак, у нас есть a'/b' > c'/d' * k, где k > 1. Домножим обе части неравенства на d', чтобы избавиться от знаменателя на правой стороне:

a' * d' > c' * d' * k

Так как k > 1, и a'/b' > c'/d', получается, что a' * d' > c' * d' * k. Делая такое же умножение домножением числителя на d', мы получаем:

a' * d' * b' > c' * d' * b' * k

Умножая обе части неравенства на b', получаем:

a' * d' * b' > c' * d' * b' * k

Таким образом, мы получили a' * d' * b' > c' * d' * b' * k, где k > 1. Но это означает, что a' * d' > c' * d' * k. Поэтому доказано, что после сокращения дроби она уменьшается.

Таким образом, любая дробь при сокращении уменьшается.