Question

Решить уравнение при всех значениях параметра a: x|x+1| + a = 0

Answer 1

1) x ≥ -1

x(x+1) + a = 0
x² + x + a = 0
D = 1 - 4a

чтобы имело решение 1 - 4а ≥ 0; a ≤ 0,25

x₁ = (-1 + √(1-4a))/2 
x₂ = (-1 - √(1-4a))/2 

x должны быть больше либо равны -1:

(-1 + √(1-4a))/2 ≥ -1
-1 + √(1-4a) ≥ -2
√(1-4a) ≥ -1 - верно для всех а

(-1 - √(1-4а))/2 ≥ -1
-1 - √(1-4а) ≥ -2
√(1-4а) ≤ 1
1 - 4а ≤ 1
а ≥ 0

т.е. в данном случае ответы:


x₁ = (-1 + √(1-4a))/2 
x₂ = (-1 - √(1-4a))/2, если а∈[0; 0,25) (при а = 0,25 корни равны и равны -0,5)

x = (-1 + √(1-4a))/2, если а<0

2) x < -1
x(-x-1) + a = 0
-x² - x + a = 0
x² + x - a = 0
D = 1 + 4a ≥ 0 a ≥ -0,25


x₁ = (-1 + √(1+4a))/2 < -1
x₂ = (-1 - √(1+4a))/2 < -1

√(1 + 4a) < -1 - не верно ни для каких а

-√(1+4а) < -1
√(1+4a) > 1
1 + 4a > 1
4a > 0
a > 0

Ответ в этом случае: 
x = (-1 - √(1+4a))/2, если а > 0

Объединяя ответы, получаем:

1)x = (-1 + √(1-4a))/2, если а<0

2)x₁ = (-1 + √(1-4a))/2 
x₂ = (-1 - √(1-4a))/2
x₃ = (-1 - √(1+4a))/2, если а∈[0; 0,25) 

3)x₁ = -0,5
x₂ = (-1-√2)/2, если а = 0,25

4)x = (-1 - √(1+4a))/2, если а > 0,25

Answer 2

Для решения уравнения x|x+1| + a = 0 при всех значениях параметра "a", давайте разберемся с этим уравнением.

Уравнение содержит абсолютное значение |x+1|, которое может быть положительным или нулевым, в зависимости от значения x. Рассмотрим два случая:

1. Когда x + 1 >= 0: В этом случае, |x+1| = x+1, и уравнение примет вид: x(x+1) + a = 0

2. Когда x + 1 < 0: В этом случае, |x+1| = -(x+1), и уравнение примет вид: -x(x+1) + a = 0

Теперь рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. Когда x + 1 >= 0: x(x+1) + a = 0 Раскроем скобки: x^2 + x + a = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с использованием дискриминанта (D). Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 1 и c = a. Подставляем значения:

D = 1^2 - 4 * 1 * a D = 1 - 4a

Теперь определяем, сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения дискриминанта D:

- Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. - Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. - Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Подставляем D в уравнение: 1. Если D > 0: Уравнение имеет два корня: x1 = (-1 + √D) / 2 x2 = (-1 - √D) / 2

2. Если D = 0: Уравнение имеет один корень: x = -1/2

3. Если D < 0: Уравнение не имеет действительных корней.

2. Когда x + 1 < 0: -x(x+1) + a = 0 Раскроем скобки и умножим обе стороны на -1: x(x+1) - a = 0

Теперь имеем такое же уравнение, как в первом случае, и его решение остается таким же.

Итак, у вас есть два случая:

1. Для x + 1 >= 0: x^2 + x + a = 0 2. Для x + 1 < 0: x^2 + x - a = 0

Решения этих уравнений зависят от значения параметра "a". Вам нужно рассмотреть оба случая и решить квадратные уравнения для каждого значения "a" отдельно.