Question

Знайти область визначення функції 4/корінь(4-3x-x^2)

Answer 1

Для начала пишем, что √(4-3x-x^2) > 0, так как в квадратном корне не может быть отрицательное выражение, а ноль не может стоять в знаменателе.
Решаем квадратное уравнение:
$4-3x- x^{2} \ \textgreater \ 0$
Переносим уравнение в правую сторону, чтобы х в квадрате был со знаком плюс:
$x^{2} +3x-4\ \textless \ 0$
$D=3^2-4*1*(-4)=9+16=25$
$x_{1} = \frac{-3+5}{2*1}=1$
$x_{2}= \frac{-3-5}{2*1}=-4$
Рисуем параболу, ветви которой направленны вверх, так как у нас х в квадрате со знаком плюс. Точки пересечения на оси Х будут -4 и 1. Закрашиваем всю область, которая меньше нуля (я перенёс ранее уравнение на правую сторону от знака больше, поэтому у нас теперь знак меньше).
Область определения у нас получается (-4; 1).
Вершина параболы находится в середине точек пересечения  $x=\frac{-4+1}{2}=-1.5$
$\sqrt{4-3x- x^{2} } = \sqrt{4-3*(-1.5)- (-1.5)^{2} }= \sqrt{4+4.5-2.25}= \sqrt{6.25}$
$\sqrt{6.25}=2.5$
$y= \frac{4}{ 2.5} =1.6$
1.6 это минимальное значение y, максимальное значение y будет стремиться к  $\infty$ по мере приближения знаменателя к нулю.
Область значения будет (- $\infty$; 1.6]
включая 1.6

Answer 2

Щоб знайти область визначення цієї функції, спочатку ми повинні визначити, за яких значень змінної "x" вираз під коренем "4 - 3x - x^2" буде невід'ємним (тобто більшим або дорівнює нулю), оскільки корінь з від'ємного числа або нуля визначений, а корінь з від'ємного числа не є дійсним числом.

Отже, ми маємо нерівність:

4 - 3x - x^2 ≥ 0

Тепер давайте розв'яжемо цю квадратну нерівність. Спочатку приведемо її до стандартного вигляду:

-x^2 - 3x + 4 ≥ 0

Тепер спростимо це, помноживши обидві сторони на -1, щоб поміняти напрямок нерівності:

x^2 + 3x - 4 ≤ 0

Тепер ми маємо квадратну нерівність, яку можна вирішити, наприклад, за допомогою методу досліду знаку. Для цього перетворимо нерівність на рівність та знайдемо корені рівняння:

x^2 + 3x - 4 = 0

Тепер розв'яжемо це рівняння:

(x + 4)(x - 1) = 0

Звідси ми бачимо, що x може мати два значення, які роблять вираз x^2 + 3x - 4 рівним нулю:

1. x + 4 = 0 => x = -4 2. x - 1 = 0 => x = 1

Ці два значення - x = -4 і x = 1 - є коренями рівняння, і вони розділяють числову пряму на три інтервали:

1. x < -4 2. -4 < x < 1 3. x > 1

Тепер ми можемо визначити, в яких інтервалах вираз x^2 + 3x - 4 ≤ 0 набуває значень менше або рівних нулю. Для цього можемо скористатися методом досліду знаку:

1. Підставимо x = -5 (з інтервалу x < -4) в нерівність: (-5)^2 + 3*(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0. 2. Підставимо x = 0 (з інтервалу -4 < x < 1) в нерівність: (0)^2 + 3*(0) - 4 = -4 < 0. 3. Підставимо x = 2 (з інтервалу x > 1) в нерівність: (2)^2 + 3*(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0.

Тепер ми знаємо, що на інтервалах x < -4 та x > 1 вираз x^2 + 3x - 4 є додатнім (більшим за нуль), а на інтервалі -4 < x < 1 він є від'ємним (меншим за нуль). Отже, область визначення функції 4/√(4 - 3x - x^2) - це інтервал -4 < x < 1, бо в інших інтервалах відповідний корінь під знаком кореня буде від'ємним, і функція не визначена на від'ємних числах.