Question

В прямоугольном треугольнике высота hc к гипотенузе c равна c/4. Определить острые углы треугольника.

Answer 1

Ответ:

Острые углы прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза в 4 раз больше высоты, проведённой на гипотенузу, равны 15° и 75°

Пошаговое объяснение:

Информация. 1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2) В прямоугольном треугольнике с углом 15° гипотенуза в 4 раз больше высоты, проведённой на гипотенузу.

Решение. Пусть α и β острые углы прямоугольного треугольника, причём α ≤ β.

По условию "в прямоугольном треугольнике высота hc к гипотенузе c равна c/4", то есть гипотенуза в 4 раз больше высоты, проведённой на гипотенузу. Тогда один из острых углов равен:

α = 15°.

Второй угол найдём из равенства: 15°+β = 90°, то есть

β = 90°-15° = 75°.

#SPJ1

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника.

Пусть катеты треугольника – a и b, а гипотенуза – c.

Из условия задачи известно, что высота к гипотенузе равна c/4.

По определению высоты треугольника, она является перпендикуляром, проведенным из вершины прямого угла к противоположному катету. Таким образом, треугольник делится на два прямоугольных треугольника.

Один из данных треугольников имеет катеты a и hc, а гипотенузу c. Второй треугольник имеет катеты b и (c - hc), а гипотенузу c.

С помощью теоремы Пифагора для обоих треугольников получаем следующие уравнения:

1. a^2 + (c/4)^2 = c^2 ⇒ a^2 + c^2/16 = c^2 Возведем оба выражения в квадрат и получим: a^2 + c^2/16 = c^2 16a^2 + c^2 = 16c^2 (1)

2. b^2 + (c - c/4)^2 = c^2 ⇒ b^2 + 9c^2/16 - c^2/2 + c^2/16 = c^2 Упростим уравнение: b^2 - c^2/8 = 0 8b^2 = c^2 (2)

Из уравнений (1) и (2) видно, что 16a^2 + c^2 = 8b^2. Так как для всех треугольников выполняется равенство a^2 + b^2 = c^2 (теорема Пифагора), то и для данного треугольника выполняется: 16a^2 + c^2 = 8b^2 = 8(a^2 + b^2).

16a^2 + c^2 = 8a^2 + 8b^2 8a^2 + c^2 = 8b^2 → c^2 = 8b^2 - 8a^2 c^2 = 8(b^2 - a^2)

Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника можно найти с помощью формулы:

tg(α) = a/b = sqrt((c^2 - 8b^2)/8b^2) tg(β) = b/a = sqrt((c^2 - 8a^2)/8a^2)

Где α и β - острые углы треугольника.