Question

Задача: Пусть \( P(n) \) – это полином степени \( n \) с рациональными коэффициентами. Докажите или опровергните, что существует такая последовательность рациональных полиномов \( \{ P_n(x) \} \), что: 1. \( P_1(x) = x \). 2. \( P_{n+1}(x) = P_n(x + P_n(x)) \) для всех \( n \geq 1 \). 3. \( P_n(0) \) является рациональным числом для всех \( n \). 4. \( \lim_{n \to \infty} P_n(0) \) существует и является трансцендентным числом.

Answer 1

Ответ:

Докажем, что такая последовательность рациональных полиномов с заданными свойствами не существует.

Предположим, что такая последовательность полиномов {Pn(x)}{Pn​(x)} существует. Рассмотрим полином P1(x)=xP1​(x)=x. Тогда, в согласии с условием (2), мы имеем:

P2(x)=P1(x+P1(x))=P1(x+x)=P1(2x)=2x.P2​(x)=P1​(x+P1​(x))=P1​(x+x)=P1​(2x)=2x.

Затем, применив снова условие (2), получаем:

P3(x)=P2(x+P2(x))=P2(x+2x)=P2(3x)=3x.P3​(x)=P2​(x+P2​(x))=P2​(x+2x)=P2​(3x)=3x.

Таким образом, для всех натуральных nn, получаем Pn(x)=nxPn​(x)=nx.

Теперь рассмотрим значения полиномов Pn(0)Pn​(0):

Pn(0)=n⋅0=0.Pn​(0)=n⋅0=0.

Согласно условию (3), все значения Pn(0)Pn​(0) должны быть рациональными числами. Однако мы видим, что Pn(0)=0Pn​(0)=0 для всех nn, и тем самым получаем противоречие с условием (4) о существовании трансцендентного предела.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и предположение о существовании такой последовательности полиномов {Pn(x)}{Pn​(x)} неверно. Такая последовательность не существует.

Answer 2

Давайте посмотрим на данную задачу более подробно.

1. Первое условие: P_1(x) = x. Это просто полином первой степени с коэффициентом 1 перед x. Такой полином, очевидно, имеет рациональные коэффициенты.

2. Второе условие: P_{n+1}(x) = P_n(x + P_n(x)). Это рекуррентное правило для генерации последующих полиномов из предыдущих. Начнем с P_1(x) = x и вычислим P_2(x):

P_2(x) = P_1(x + P_1(x)) = P_1(x + x) = P_1(2x) = 2x.

Таким образом, P_2(x) = 2x - это полином первой степени с рациональными коэффициентами.

После этого мы можем продолжать вычислять последующие полиномы согласно данному правилу. Оказывается, что P_n(x) будет иметь степень n и рациональные коэффициенты для всех n. Это можно показать методом математической индукции.

3. Третье условие: P_n(0) является рациональным числом для всех n. Поскольку P_1(0) = 0 (раскрытие скобок в P_1(x) = x + 0) и 0 - это рациональное число, и P_2(0) = 2 * 0 = 0 - также рациональное число, мы можем применить индукцию, чтобы показать, что P_n(0) будет рациональным числом для всех n.

4. Четвертое условие: lim (n -> ∞) P_n(0) существует и является трансцендентным числом. Это условие более сложное, и его можно доказать, используя теорию чисел и трансцендентные числа. Пусть q = lim (n -> ∞) P_n(0).

Если q - рациональное число, то оно не является трансцендентным, и это противоречит условию. Поэтому q должно быть иррациональным числом.

Теперь предположим, что q - алгебраическое число (не трансцендентное). Тогда существует уравнение с целочисленными коэффициентами, которому q удовлетворяет. Рассмотрим это уравнение:

a_0 + a_1*q + a_2*q^2 + ... + a_k*q^k = 0, где a_0, a_1, ..., a_k - целые числа и a_k ≠ 0.

Так как P_n(0) - рациональные числа, то q должно быть алгебраическим числом, удовлетворяющим некоторому алгебраическому уравнению.

Однако это приводит к противоречию, так как мы уже установили, что q должно быть иррациональным. Таким образом, предположение о том, что q - алгебраическое число, неверно, и q является трансцендентным числом.

Итак, мы доказали, что существует такая последовательность рациональных полиномов {P_n(x)}, удовлетворяющая всем четырем условиям, и что lim (n -> ∞) P_n(0) существует и является трансцендентным числом.