Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ 1. Найти угол между плоскостями : 4x+3z-3=0 , x+2y+2z+5=0 2.Написать канонические уравнения прямой: \left \{ {{6x-7y-z-2=0} \atop {x+7y-4z-5=0}} \right. 3.Коллинеарны ли векторы a(3,1,0), b(-5,-4,-5), c(4,2,4)? 4.В треугольнике abc найти проекцию медианы ad на сторону ac, если даны координаты точек a(2,-1,0), b(-2,3,-5), c(-1,2,2) 5. \lim_{n\to \infty}\frac{25-48x^2}{x^2+2x-1} 6. \lim_{n \to \infty} \frac{3-2x}{4x^2+5x+7} 7. \lim_{n \to \infty} \frac{2x-x^2-70}{7-8x}

Answer 1

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей

Answer 2

Давайте по порядку решим каждую из задач:

1. Найти угол между плоскостями: Угол между плоскостями можно найти по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{{a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2}}{{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}} \] Где уравнения плоскостей имеют вид \(Ax + By + Cz + D = 0\), а коэффициенты \(a, b, c\) - это коэффициенты при \(x, y, z\) в уравнении плоскости.

Подставим коэффициенты из уравнений плоскостей: - Первая плоскость: \(4x + 0y + 3z - 3 = 0\), так что \(a_1 = 4\), \(b_1 = 0\), \(c_1 = 3\). - Вторая плоскость: \(x + 2y + 2z + 5 = 0\), так что \(a_2 = 1\), \(b_2 = 2\), \(c_2 = 2\).

Подставим значения в формулу и решим: \[ \cos(\theta) = \frac{{4 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 2}}{{\sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{{4 + 6}}{{\sqrt{25} \cdot \sqrt{9}}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3} \]

Теперь найдем угол \(\theta\) используя арккосинус: \(\theta = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)\).

2. Написать канонические уравнения прямой: Уравнение прямой в канонической форме имеет вид \(\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\), где \((x_0, y_0, z_0)\) - точка прямой, а \(a, b, c\) - направляющие косинусы.

Из системы уравнений мы можем выразить направляющие косинусы: - Из первого уравнения: \(a = 6, b = -7, c = -1\). - Из второго уравнения: \(a = 1, b = 7, c = -4\).

Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой: \[ \frac{x - x_0}{6} = \frac{y - y_0}{-7} = \frac{z - z_0}{-1} \]

3. Коллинеарны ли векторы: Векторы \(a\), \(b\) и \(c\) коллинеарны, если один из них является линейной комбинацией других. Проверим это, вычислив определитель матрицы, составленной из координат этих векторов: \[ \begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -5 & -4 & -5 \\ 4 & 2 & 4 \end{vmatrix} \] Если определитель равен нулю, то векторы коллинеарны.

4. Проекция медианы \(ad\) на сторону \(ac\): Проекция вектора \(ad\) на сторону \(ac\) равна: \[ \text{proj}_{ac}(ad) = \frac{ad \cdot ac}{\|ac\|} \cdot \frac{ac}{\|ac\|} \] Где \(\cdot\) - скалярное произведение, \(\|ac\|\) - длина вектора \(ac\).

Вычислим координаты векторов и приступим к вычислению: - Вектор \(ad = \overrightarrow{d - a}\), где \(d(0,5,-5)\), \(a(2,-1,0)\). - Вектор \(ac = \overrightarrow{c - a}\), где \(c(-1,2,2)\), \(a(2,-1,0)\).

Подставим значения и вычислим проекцию.

5. Пределы: - \(\lim_{{n \to +\infty}} \frac{25-48x^2}{x^2+2x-1}\) Выносим максимальные степени из числителя и знаменателя: \(\lim_{{n \to +\infty}} \frac{-48}{1} = -48\). - \(\lim_{{n \to +\infty}} \frac{3-2x}{4x^2+5x+7}\) Выносим максимальные степени из числителя и знаменателя: \(\lim_{{n \to +\infty}} \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\). - \(\lim_{{n \to +\infty}} \frac{2x-x^2-70}{7-8x}\) Выносим максимальные степени из числителя и знаменателя: \(\lim_{{n \to +\infty}} \frac{-x^2}{-8x} = \lim_{{n \to +\infty}} \frac{x}{8} = 0\).