Question

Числові ряди :основні поняття в теореми ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

У теорії числових рядів використовуються деякі основні поняття та теореми. Основні поняття включають наступне:

Числовий ряд: Це вираз, який складається зі суми послідовності чисел, записаних у вигляді n1 + n2 + n3 + ..., де n1, n2, n3,... - члени ряду.

Часткова сума: Це сума певної кількості членів ряду. Часткова сума ряду з n членів позначається як Sn.

Збіжний ряд: Це ряд, який має скінчену суму при нескінченному доданку. Іншими словами, сума всіх часткових сум ряду збігається до певного числа.

Розбіжний ряд: Це ряд, який не має скінченної суми, тобто сума його часткових сум не збігається до жодного числа.

Теореми, пов'язані з числовими рядами, дозволяють встановити умови збіжності або розбіжності рядів. Основні теореми включають:

Теорема про збіжність монотонних рядів: Якщо послідовність часткових сум монотонного ряду обмежена, то ряд є збіжним.

Теорема Коші про необхідну умову збіжності ряду: Якщо ряд збігається, то послідовність його членів має границю, рівну нулю.

Теорема Даламбера про збіжність ряду: Якщо послідовність відношень сусідніх членів ряду збігається до числа меншого за 1, то ряд є збіжним.

Теорема Коші-Маклорена: Ця теорема дозволяє обчислити суму деяких рядів за допомогою інтегралів та похідних їх членів.

Answer 2

Числовая последовательность - это упорядоченный набор чисел, где каждому натуральному числу соответствует одно число из последовательности. Числовой ряд - это сумма всех элементов числовой последовательности.

Основные понятия в теоремах числовых рядов:

1. Сходимость ряда: ряд сходится, если существует конечное число, называемое пределом суммы ряда, к которому стремятся частичные суммы ряда при увеличении числа слагаемых. Если предел суммы ряда существует и конечен, то говорят, что ряд сходится. Если же такого предела нет или он бесконечный, то ряд расходится.

2. Абсолютная сходимость: ряд абсолютно сходится, если сходится модуль этого ряда. Другими словами, сумма ряда модулей слагаемых существует и конечна. Абсолютная сходимость ряда гарантирует, что порядок расстановки слагаемых не влияет на сходимость ряда.

3. Условная сходимость: ряд условно сходится, если сам ряд сходится, но ряд, составленный из модулей его слагаемых, расходится. В случае условной сходимости порядок слагаемых влияет на сходимость ряда.

Теоремы числовых рядов:

1. Теорема сравнения: если для положительных рядов a_n и b_n выполнено условие 0 <= a_n <= b_n для всех n и ряд b_n сходится, то сходится и ряд a_n.

2. Теорема Коши: если существует предел отношения a_n и a_{n+1} при n → ∞, и этот предел меньше 1, то ряд a_n абсолютно сходится. Если же этот предел больше 1 или не существует, то ряд a_n расходится.

3. Признак Даламбера: пусть a_n - неположительная последовательность. Если существует предел квоциента (a_{n+1} / a_n) при n → ∞, и этот предел меньше 1, то ряд a_n абсолютно сходится. Если же этот предел больше 1 или не существует, то ряд a_n расходится.

4. Признак Лейбница: пусть a_n - знакочередующаяся последовательность, то есть знаки его слагаемых чередуются (a_n * a_{n+1} < 0) и модули его слагаемых убывают (|a_n| >= |a_{n+1}|). Тогда ряд a_n условно сходится.

Это лишь некоторые из основных понятий и теорем в теории числовых рядов. Тема достаточно обширная и содержит множество других понятий и результатов.