Question

Розв’язати нерівність методом інтервалів: 1) (3x-1)(x+4)>0 2) 2x+6/x-2>0 3) x2<16

Answer 1

Ответ:

1) (3x-1)(x+4)>0

Спочатку знайдемо значення x, для яких кожний множник дорівнює нулю:

3x-1=0 => x=1/3

x+4=0 => x=-4

Тепер розташуємо ці значення на числовій прямій та виберемо по одному значенню з кожного інтервалу, щоб перевірити, чи задовольняє вони нерівність:

| Інтервал | (3x-1)(x+4) |

|----------|-------------|

| (-∞,-4)  | +           |

| (-4,1/3) | -           |

| (1/3,+∞) | +           |

Таким чином, розв'язком нерівності (3x-1)(x+4)>0 є **(-∞,-4) U (1/3,+∞)**.

2) 2x+6/x-2>0

Спочатку знайдемо значення x, для яких кожний множник дорівнює нулю:

x-2=0 => x=2

Тепер розташуємо це значення на числовій прямій та виберемо по одному значенню з кожного інтервалу, щоб перевірити, чи задовольняє вони нерівність:

| Інтервал | 2x+6/x-2 |

|----------|----------|

| (-∞,2)   | -        |

| (2,+∞)   | +        |

Таким чином, розв'язком нерівності 2x+6/x-2>0 є **(-∞,2)**.

3) x^2<16

Спочатку знаходимо значення x, для яких нерівність стає рівністю:

x^2=16 => x=±4

Тепер розташуємо ці значення на числовій прямій та виберемо по одному значенню з кожного інтервалу, щоб перевірити, чи задовольняє вони нерівність:

| Інтервал | x^2<16 |                                                                                         |----------|--------|

| (-∞,-4)  | +      |

| (-4,4)   | -      |

| (4,+∞)   | +      |

Таким чином, розв'язком нерівності x^2<16 є **(-∞,-4) U (4,+∞)**.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Звідомо, що метод інтервалів широко використовується для вирішення нерівностей. Давайте розглянемо кожну з вказаних нерівностей окремо та знайдемо їх розв'язок за допомогою методу інтервалів.

1) \( (3x - 1)(x + 4) > 0 \)

Спочатку знайдемо значення \( x \), для яких вираз \( (3x - 1)(x + 4) \) дорівнює нулю, оскільки це допоможе нам визначити інтервали, де вираз буде більший за нуль, а де менший.

\( (3x - 1)(x + 4) = 0 \) Таким чином, \( 3x - 1 = 0 \) або \( x + 4 = 0 \) \( 3x = 1 \) або \( x = -4 \) \( x = \frac{1}{3} \) або \( x = -4 \)

Точки, які розділяють площину на інтервали, де вираз може бути або більшим за нуль, або меншим, це \( x = \frac{1}{3} \) та \( x = -4 \).

Тепер оберемо по одному значення \( x \) в кожному з цих інтервалів та визначимо знак виразу \( (3x - 1)(x + 4) \) на цих інтервалах.

- Інтервал 1: \( x < -4 \) Виберемо \( x = -5 \), тоді: \( (3(-5) - 1)(-5 + 4) = (-15 - 1)(-1) = (-16) * (-1) = 16 > 0 \) Отже, вираз більший за нуль на цьому інтервалі.

- Інтервал 2: \( -4 < x < \frac{1}{3} \) Виберемо \( x = 0 \), тоді: \( (3(0) - 1)(0 + 4) = (-1)(4) = -4 < 0 \) Отже, вираз менший за нуль на цьому інтервалі.

- Інтервал 3: \( x > \frac{1}{3} \) Виберемо \( x = 1 \), тоді: \( (3(1) - 1)(1 + 4) = (2)(5) = 10 > 0 \) Отже, вираз більший за нуль на цьому інтервалі.

Тож розв'язок нерівності \( (3x - 1)(x + 4) > 0 \) це \( x < -4 \) або \( x > \frac{1}{3} \).

2) \( \frac{2x + 6}{x - 2} > 0 \)

Цю нерівність можна розв'язати, розглянувши інтервали, де знаменник і чисельник мають різні знаки.

\( 2x + 6 \) та \( x - 2 \) мають однаковий знак або обидва дорівнюють нулю, тому:

- \( x - 2 > 0 \) або \( x > 2 \) - \( 2x + 6 > 0 \) або \( x > -3 \)

Отже, об'єднуючи ці два інтервали, ми отримуємо розв'язок: \( x > 2 \).

3) \( x^2 < 16 \)

Цю нерівність можна розв'язати шляхом знаходження коренів квадратного рівняння та подальшого визначення знаків у відрізках, які ці корені розділяють.

\( x^2 - 16 = 0 \) \( (x - 4)(x + 4) = 0 \) \( x = 4 \) або \( x = -4 \)

Ці точки ділять числову пряму на три інтервали:

- Інтервал 1: \( x < -4 \) - Інтервал 2: \( -4 < x < 4 \) - Інтервал 3: \( x > 4 \)

Тепер виберемо по одному значенню \( x \) в кожному інтервалі та визначимо знак виразу \( x^2 - 16 \):

- Інтервал 1: \( x < -4 \) Виберемо \( x = -5 \), тоді: \( (-5)^2 - 16 = 25 - 16 = 9 > 0 \) Отже, вираз є додатнім на цьому інтервалі.

- Інтервал 2: \( -4 < x < 4 \) Виберемо \( x = 0 \), тоді: \( (0)^2 - 16 = -16 < 0 \) Отже, вираз є від'ємним на цьому інтервалі.

- Інтервал 3: \( x > 4 \) Виберемо \( x = 5 \), тоді: