Question

Проведите полное исследование функции y=x^3-6x^2

Answer 1

У=х^3-6x^2-степенная функция
нули функции
х^3-6х^2=0
х^2(х-6)=0
х=0 или х-6=0
              х=6
----------0-------------6-------------->х
(точки не включены)
обл. опр(-беск;0);(0;6);(6;беск)
для обл. значений найдем корд. вершины У
Хв=-б:2а=6:2=3
Ув=3^3-6*3^2=-27 
обл знач[-27;беск)

Answer 2

Давайте начнем с анализа функции $y = x^3 - 6x^2$.

1. Найдем точки пересечения с осями координат:

Для этого нужно решить уравнение $y = 0$ относительно $x$. Таким образом:

$x^3 - 6x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ из обеих частей уравнения:

$x^2(x - 6) = 0$

Таким образом, корни этого уравнения $x$ равны 0 и 6. Следовательно, у функции есть две точки пересечения с осью $x$: (0, 0) и (6, 0).

2. Найдем экстремумы функции:

Для этого вычислим производную функции и найдем ее корни. Производная функции $y = x^3 - 6x^2$ равна:

$y' = 3x^2 - 12x$

Производная равна нулю при $x = 0$ и $x = 4$.

2.1 Определим характер экстремумов:

Для этого воспользуемся второй производной. Возьмем вторую производную функции $y$:

$y'' = 6x - 12$

Подставим $x = 0$ и $x = 4$:

$y''(0) = -12 < 0$

$y''(4) = 12 > 0$

Таким образом, точка $x = 0$ является максимумом, а точка $x = 4$ - минимумом.

3. Исследуем поведение функции на интервалах между найденными точками:

3.1 Интервал $x \in (-\infty, 0)$:

На этом интервале функция убывает.

3.2 Интервал $x \in (0, 4)$:

На этом интервале функция возрастает.

3.3 Интервал $x \in (4, 6)$:

На этом интервале функция снова убывает.

3.4 Интервал $x \in (6, +\infty)$:

На этом интервале функция также убывает.

4. Исследуем поведение функции при $x$ стремящемся к бесконечности:

$\lim_{x \to \infty} (x^3 - 6x^2) = \infty$

Функция стремится к плюс бесконечности при $x$, стремящемся к плюс бесконечности.

5. Исследуем поведение функции при $x$ стремящемся к минус бесконечности:

$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 6x^2) = -\infty$

Функция стремится к минус бесконечности при $x$, стремящемся к минус бесконечности.

6. Нарисуем график функции:

Мы можем нарисовать график функции, используя информацию, полученную из предыдущих шагов и дополнительно учитывая точки пересечения с осями координат и экстремумы.

На основании этой информации, мы можем создать график функции.