Question

Решите уравнение sin^4x-cos^4x+2cos^2x=cos2x

Answer 1

(sin^2x + cos^2x)(sin^2x - cos^2x) = cos2x - 2cos^2x
sin^2x - cos^2x = cos^2x - sin^2x - 2cos^2x = - 1
1 - cos^2x - cos^2x = - 1    ->  cos^2x = 1   -> 
cosx = 1  или  cosx = - 1   ->  x = πn   n ∈ Z

Answer 2

Для решения уравнения sin^4x-cos^4x+2cos^2x=cos2x сначала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества.

sin^4x - cos^4x + 2cos^2x = cos2x (sin^2x - cos^2x)(sin^2x + cos^2x) + 2cos^2x = cos2x (-cos^2x)(1 + sin^2x) + 2cos^2x = cos2x -cos^2x - cos^2xsin^2x + 2cos^2x = cos2x -cos^2x + 2cos^2x - cos^2xsin^2x = cos2x cos^2x - cos^2xsin^2x = cos2x

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество cos^2x = 1 - sin^2x, чтобы заменить cos^2x в уравнении.

1 - sin^2x - (1 - sin^2x)sin^2x = cos2x 1 - sin^2x - (sin^2x - sin^4x) = cos2x 1 - sin^2x - sin^2x + sin^4x = cos2x 1 - 2sin^2x + sin^4x = cos2x

Теперь мы можем использовать тождество sin^2x = 1 - cos^2x, чтобы заменить sin^2x в уравнении.

1 - 2(1 - cos^2x) + (1 - cos^2x)^2 = cos2x 1 - 2 + 2cos^2x + 1 - 2cos^2x + cos^4x = cos2x -2 + cos^4x = cos2x

Теперь мы можем заменить cos2x в уравнении с помощью тождества cos2x = 2cos^2x - 1.

-2 + cos^4x = 2cos^2x - 1 cos^4x - 2cos^2x + 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, заменив cos^2x = y.

y^2 - 2y + 1 = 0 (y - 1)^2 = 0

Отсюда получаем y = 1.

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной и решить уравнение для cos^2x.

cos^2x = 1 cosx = ±1

Таким образом, решением уравнения sin^4x-cos^4x+2cos^2x=cos2x являются все значения x, для которых cosx равно ±1.