Question

Составьте задачу с двумя кругами Эйлера.

Answer 1

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной. 

Сколько шестиклассников:

1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки;
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Заметим, что первый вопрос является ключевым для понимания и решения данной задачи. Ведь не сразу сообразишь, как получается 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе звучит подсказка к пониманию условия: есть ученики, которые посещают обе библиотеки. А если условие задачи изобразить на схеме, то ответ на первый вопрос становится очевидным.

Решение.

1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)

3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).

Очевидно, что 2 и 5, а также 3 и 4– равнозначны и ответы на них совпадают.

Answer 2

Задача с двумя кругами Эйлера

Задача: Рассмотрим два круга, круг A и круг B, с радиусами R и r соответственно. Необходимо найти площадь области, которую они перекрывают.

Решение: 1. Найдем площадь каждого круга: - Площадь круга A: πR^2 - Площадь круга B: πr^2 2. Найдем расстояние между центрами кругов: - Обозначим расстояние между центрами кругов как d.

3. Определим, как перекрываются круги: - Если d ≥ R + r, то круги не перекрываются и площадь перекрытия равна 0. - Если d < R + r, то круги перекрываются и площадь перекрытия можно найти следующим образом: - Если r ≥ R + d, то площадь перекрытия равна площади круга A. - Если R ≥ r + d, то площадь перекрытия равна площади круга B. - В остальных случаях, площадь перекрытия можно найти с помощью формулы: - Площадь перекрытия = R^2 * arccos((d^2 + R^2 - r^2) / (2 * d * R)) + r^2 * arccos((d^2 + r^2 - R^2) / (2 * d * r)) - 0.5 * sqrt((-d + R + r) * (d + R - r) * (d - R + r) * (d + R + r)) 4. Полученная площадь перекрытия является ответом на задачу.

Пример: Пусть радиус круга A равен 10, а радиус круга B равен 5. Расстояние между центрами кругов d = 11.

Тогда площадь перекрытия можно найти следующим образом: - Площадь круга A: π(10^2) = 100π - Площадь круга B: π(5^2) = 25π - Площадь перекрытия = 10^2 * arccos((11^2 + 10^2 - 5^2) / (2 * 11 * 10)) + 5^2 * arccos((11^2 + 5^2 - 10^2) / (2 * 11 * 5)) - 0.5 * sqrt((-11 + 10 + 5) * (11 + 10 - 5) * (11 - 10 + 5) * (11 + 10 + 5))

Подставляя значения, получаем: - Площадь перекрытия = 100 * arccos(126 / 220) + 25 * arccos(51 / 110) - 0.5 * sqrt(26 * 31 * 6 * 26) - Площадь перекрытия ≈ 100 * 0.573 + 25 * 0.498 - 0.5 * sqrt(12168) - Площадь перекрытия ≈ 57.3 + 12.45 - 0.5 * 110.4 - Площадь перекрытия ≈ 69.25

Таким образом, площадь перекрытия двух кругов с радиусами 10 и 5, и расстоянием между центрами 11, составляет примерно 69.25.

Примечание: В данной задаче использованы формулы для нахождения площади перекрытия двух кругов Эйлера. Эти формулы могут быть применены для любых значений радиусов и расстояния между центрами кругов.