Question

Обчислити інтеграл від 0 до п/2 dt/1+cost

Answer 1

Ответ:

Вычислить определённый интеграл .  

Сначала упростим подынтегральное выражение с помощью формулы понижения степени :  $\bf cos^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1+cosx}{2}$   .

$\bf \displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, \frac{dt}{1+cost}=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, \frac{dt}{2\, cos^2\dfrac{t}{2}}=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, \frac{\dfrac{1}{2}\, dt}{cos^2\dfrac{t}{2}}=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, \frac{d(\dfrac{t}{2})}{cos^2\dfrac{t}{2}}=tg\frac{t}{2}\, \Big|_0^{\frac{\pi }{2}}=\\\\\\=tg\frac{\pi }{4}-tg\, 0=1-0=1$

Answer 2

Щоб обчислити цей інтеграл, вам знадобиться використовувати інтегрування методом підстановки. Почнемо з виразу:

∫[0, π/2] dt / (1 + cos(t))

Здійснимо підстановку:

Позначимо u = tan(t/2), тоді dt = 2 du / (1 + u^2), і cos(t) = (1 - u^2) / (1 + u^2).

Тепер змінимо інтеграл:

∫[0, π/2] dt / (1 + cos(t)) = ∫[0, π/2] (2 du / (1 + u^2)) / (1 + (1 - u^2) / (1 + u^2))

Звідси, ми можемо спростити дріб у знаменнику:

(1 + (1 - u^2) / (1 + u^2)) = (1 + 1 - u^2) / (1 + u^2) = 2 / (1 + u^2)

Тепер наш інтеграл стає:

∫[0, π/2] (2 du / (1 + u^2)) * (2 / (1 + u^2)) = 4∫[0, π/2] du / (1 + u^2)^2

Зараз застосуємо формулу для інтегрування:

∫ du / (a^2 + u^2) = (1/a) * arctan(u/a)

У нашому випадку, a = 1:

4∫[0, π/2] du / (1 + u^2)^2 = 4 * [(1/1) * arctan(u/1)] from 0 to π/2

Тепер обчислимо це:

4 * [(1/1) * (π/2 - 0)] = 2π

Отже, інтеграл від 0 до π/2 dt / (1 + cos(t)) дорівнює 2π.