Question

Теория вероятности сколько различных натуральных решений имеет уравнение x+y+z+w=8

Answer 1

Очевидно, что раз все числа натуральные, каждое не превосходит 8-1-1-1=5. Значит каждая из переменных может принимать одно из значений 1,2,3,4,5. Используем производящую функцию и найдем коэффициент при $x^8$:$(x^1+x^2+x^3+x^4+x^5)^4=(\dfrac{x*(x^5-1)}{(x-1)})^4=x^4(x^5-1)^4*\dfrac{1}{(x-1)^4}=x^4(x^5-1)^4*(1+\sum\limits_{n=1}^\infty (-x)^n \dfrac{-4(-4-1)...(-4-n+1)}{n!} )=\\ x^4(x^5-1)^4*(1+\sum\limits_{n=1}^\infty (-x)^n (-1)^n\dfrac{4*5*...(n+3)}{n!} )=\\ x^4(x^5-1)^4*\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{1*2*3}x^n=\\ x^4(x^{20} - 4 x^{15} + 6 x^{10} - 4 x^5 + 1)*\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}x^n$$> </p> <p>Минимальная степень x, входящая в сумму справа - 0. Значит на коэффициент при <img src=$ могут повлиять лишь те одночлены из суммы слева, в которых степень x не больше 8. Такое слагаемое одно, и это $x^4$. Тогда для получения 8ой степени требуется слагаемое из правой части степени 8-4=4. Значит искомый коэффициент равен $a_8=1*\dfrac{(4+1)(4+2)(4+3)}{6}=35$

Ответ: 35

Answer 2

Чтобы найти количество различных натуральных решений уравнения x + y + z + w = 8, мы можем воспользоваться комбинаторикой. Это уравнение представляет собой задачу разделения числа 8 на 4 натуральных слагаемых. Это также известно как задача о разбиении числа.

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться "формулой разбиения". Формула разбиения числа n на k слагаемых (где слагаемые являются натуральными числами) может быть записана следующим образом:

P(n, k) = P(n-1, k-1) + P(n-k, k)

Где P(n, k) - количество различных способов разбиения числа n на k слагаемых.

В данном случае, n = 8 (сумма, которую мы хотим разбить), и k = 4 (количество слагаемых). Мы хотим найти P(8, 4).

P(8, 4) = P(7, 3) + P(4, 4)

Теперь вычислим P(7, 3) и P(4, 4).

P(7, 3) - это количество способов разбить 7 на 3 натуральных слагаемых. Это можно вычислить, используя ту же формулу:

P(7, 3) = P(6, 2) + P(4, 3)

P(6, 2) - это количество способов разбить 6 на 2 натуральных слагаемых. Таким образом, мы можем продолжать вычисления, пока не дойдем до базовых случаев:

P(6, 2) = P(5, 1) + P(4, 2) P(5, 1) = 1 (единственный способ разбить 5 на 1 слагаемое) P(4, 2) = P(3, 1) + P(2, 2) P(3, 1) = 1 (единственный способ разбить 3 на 1 слагаемое) P(2, 2) = 2 (разбиения 2 на 2 слагаемых: (1,1) и (2,0))

Теперь мы можем подставить значения обратно:

P(5, 1) = 1 P(4, 2) = 1 + 2 = 3 P(7, 3) = 1 + 3 = 4

Теперь вернемся к P(4, 4), что представляет собой количество способов разбить 4 на 4 натуральных слагаемых. В данном случае, есть только один способ - (1, 1, 1, 1).

Итак, P(4, 4) = 1

Теперь мы можем сложить значения P(7, 3) и P(4, 4) для получения общего количества различных натуральных решений уравнения x + y + z + w = 8:

P(8, 4) = P(7, 3) + P(4, 4) = 4 + 1 = 5

Итак, уравнение x + y + z + w = 8 имеет 5 различных натуральных решений.