Question

1 если P(2x+1)=4x^2-6x-5 то найдите P(x+1) 2. Если P(x) *P(2x)=2x^2+3x+1 то найдите линейную функцию P(x) ​

Answer 1

1.

Пусть

2x+1=t   ⇒  x=(t-1)/2

P(t)=4·((t-1)/2)²-6·((t-1)/2)-5

P(t)=t²-2t+1-3t+3-5

P(t)=t²-5t-1

При t=x+1

получим

P(x+1)=(x+1)²-5(x+1)-1

P(x+1)=x²-3x-5

2.

Пусть

P(x)=ax+b

тогда

P(2x)=a·2x+b=2ax+b

P(x)·P(2x)=(ax+b)·(2ax+b)=2a²x²+3abx+b²

и по условию

P(x) ·P(2x)=2x²+3x+1

Приравниваем:

2a²x²+3abx+b²=2x²+3x+1

Два многочлена равны, если они имеют одну и ту же степень и коэффициенты при одинаковых степенях равны:

2a²=2

3ab=3

b²=1    ⇒      b =  ±1

3a·(-1)=3      или  3a·1=3

a=-1             или  a=1

О т в е т. P(x)=-x-1   или P(x)= х+1

Answer 2

1. 2х+1=у

х=(у-1)/2

Р(у)=4*(у²-2у+1)/4-6*(у-1)/2-5=у²-2у+1-3у+3-5=у²-5у-1;

Р(х+1)=(х+1)²-5*(х+1)-1=х²+2х+1-5х-5-1=х²-3х-5

2. Р(х)=ах+b ; Р(2х)=2ах+b;

Методом неопределенных коэффициентов найдем а и b,

Р(х)*Р(2х)=(ах+b)*(2ах+b)=2а²х²+3аbх+b² ≡2х²+3х+1

а²=1⇒а=±1, тогда 3аb=3⇒b=±1;   это же согласовывается с

b² =1

Р(х)= (х+1) или Р(х)= (-х-1)

Answer 3

1. Для решения первой задачи нам нужно найти значение P(x + 1), исходя из уравнения P(2x + 1) = 4x^2 - 6x - 5.

Сначала мы подставим x + 1 вместо x в уравнение P(2x + 1):

P(2(x + 1) + 1) = P(2x + 2 + 1) = P(2x + 3).

Теперь у нас есть новое выражение P(2x + 3). Мы хотим найти его значение.

Изначально дано уравнение: P(2x + 1) = 4x^2 - 6x - 5.

Сравнивая это уравнение с P(2x + 3), мы видим, что аргумент в обоих случаях отличается на 2:

2x + 1 и 2x + 3.

Теперь мы замечаем, что если мы добавим 2 к аргументу, то это приведет к добавлению 4 к квадратному члену (4x^2), и вычитанию 12 из линейного члена (-6x):

4x^2 - 6x + 4 - 12 = 4x^2 - 6x - 8.

Таким образом, P(2x + 3) = 4x^2 - 6x - 8.

2. Для решения второй задачи, нам нужно найти линейную функцию P(x), исходя из уравнения P(x) * P(2x) = 2x^2 + 3x + 1.

Рассмотрим уравнение:

P(x) * P(2x) = 2x^2 + 3x + 1.

Мы видим, что P(x) и P(2x) могут быть какими-то функциями, и для нахождения линейной функции P(x) нам нужно разделить уравнение на P(2x) и получить:

P(x) = (2x^2 + 3x + 1) / P(2x).

Это выражение не дает нам точное значение P(x), так как мы не знаем P(2x). Если P(2x) - линейная функция, то мы можем продолжить. Например, предположим, что P(2x) = ax + b, где a и b - коэффициенты. Тогда:

P(x) = (2x^2 + 3x + 1) / (ax + b).

Чтобы P(x) была линейной функцией, знаменатель должен быть линейным. Это возможно, если a = 0 и b = 1 (либо другие подходящие значения):

P(x) = (2x^2 + 3x + 1) / (0x + 1) = 2x^2 + 3x + 1.

Итак, линейная функция P(x) равна 2x^2 + 3x + 1.