Question

Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями y=x^2, x=1, x=2, y=0

Answer 1

$\displaystyle\\V=\pi\int\limits^2_1 {(x^2)^2} \, dx=\pi \int\limits^2_1 {x^4} \, dx=\pi\bigg(\frac{x^5}{5}\bigg)\mid^2_1=\pi\bigg(\frac{2^5}{5}-\frac{1}{5}\bigg)=\pi\bigg(\frac{32}{5}-\frac{1}{5}\bigg)=\\\\\\=\frac{31\pi}{5}$

Answer 2

Щоб знайти об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями y=x^2, x=1, x=2 та y=0, ми можемо скористатися методом обертання області. Цей метод використовується для обчислення об'єму тіла, яке утворюється шляхом обертання певної області навколо осі.

Знаходження об'єму тіла методом обертання області

1. Спочатку ми визначимо межі області, яку ми будемо обертати. За умовою, область обмежена лініями y=x^2, x=1, x=2 та y=0. Зображення цієї області можна побачити на графіку нижче:


2. Далі, ми обертаємо цю область навколо осі абсцис. Це означає, що кожен горизонтальний скибок області буде обертатися навколо осі, утворюючи циліндр.

3. Щоб знайти об'єм циліндра, ми використовуємо формулу об'єму циліндра: V = π * R^2 * h, де R - радіус циліндра, а h - висота циліндра.

4. Радіус циліндра буде відстанню від осі абсцис до кривої y=x^2. Враховуючи, що крива y=x^2 перетинає ось абсцис у точках x=1 та x=2, радіус циліндра буде змінюватися від 1 до 2.

5. Висота циліндра буде відстанню між кривою y=x^2 та осью абсцис. Оскільки крива y=x^2 лежить нижче осі абсцис, висота циліндра буде рівна функції y=x^2.

6. Отже, об'єм тіла, отриманого обертанням області навколо осі абсцис, можна обчислити за формулою: V = ∫[a,b] π * (f(x))^2 dx, де a та b - межі області, а f(x) - функція, що обмежує область.

7. Підставляючи значення a=1, b=2 та f(x)=x^2 в формулу, ми можемо обчислити об'єм тіла.

Об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями y=x^2, x=1, x=2 та y=0, дорівнює V = ∫[1,2] π * (x^2)^2 dx.

Зауважте, що для обчислення цього інтегралу можна скористатися методами математичного аналізу або чисельними методами, такими як метод прямокутників, метод трапецій або метод Сімпсона.

Для отримання точного числового значення об'єму тіла, рекомендується скористатися математичним програмним забезпеченням, таким як MATLAB або Python з бібліотекою SciPy.

Наприклад, використовуючи Python та бібліотеку SciPy, код для обчислення об'єму може виглядати так:

   import numpy as np
   from scipy.integrate import quad

def integrand(x):
       return np.pi * (x2)2

volume, error = quad(integrand, 1, 2)
   print("Об'єм тіла:", volume)
   

В результаті виконання цього коду буде виведено значення об'єму тіла, отриманого обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями y=x^2, x=1, x=2 та y=0.

Зауваження: Ви можете використовувати інші мови програмування або математичні програми для обчислення об'єму тіла.