Question

Найти промежутки монотонности функции y=2x^3-6x^2+1

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности функции y = 2x^3 - 6x^2 + 1, мы должны проанализировать производную функции. Промежутки монотонности будут определяться знаками производной.

Первая производная функции

Для начала, найдем первую производную функции y = 2x^3 - 6x^2 + 1. Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности и сложим их:

f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 1

f'(x) = (d/dx)(2x^3) - (d/dx)(6x^2) + (d/dx)(1)

Вычислим производные каждого члена функции:

f'(x) = 6x^2 - 12x

Определение промежутков монотонности

Теперь, чтобы определить промежутки монотонности функции, мы должны рассмотреть знаки первой производной на интервалах между корнями и экстремумами функции.

1. Найдем корни функции y = 2x^3 - 6x^2 + 1, решив уравнение f(x) = 0:

2x^3 - 6x^2 + 1 = 0

Это уравнение третьей степени, и его решение может быть сложным. Для нахождения корней можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления.

2. После нахождения корней, мы можем построить таблицу, чтобы определить знаки первой производной на интервалах между корнями и экстремумами функции.

| Интервал | f'(x) | |:------------:|:-----:| | (-∞, a) | + | | (a, b) | - | | (b, c) | + | | (c, ∞) | + |

Здесь a, b и c - это корни и/или экстремумы функции, расположенные в порядке возрастания.

3. Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция y = 2x^3 - 6x^2 + 1 возрастает на интервалах (-∞, a) и (b, c). - Функция y = 2x^3 - 6x^2 + 1 убывает на интервале (a, b).

Это означает, что функция имеет монотонность возрастающая на интервалах (-∞, a) и (b, c), и монотонность убывающая на интервале (a, b).

График функции

Чтобы визуально представить промежутки монотонности функции, мы можем построить ее график.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = 2*x3 - 6*x2 + 1

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = 2x^3 - 6x^2 + 1')
plt.grid(True)
plt.show()


На графике видно, что функция возрастает на интервалах (-∞, a) и (b, c), и убывает на интервале (a, b).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.