Question

Α = 0.123456789101112131415161718192021222324252627282930... Доказать или опровергнуть иррациональность α.Пожалуйста, только строгое доказательство, не "Видно, же".

Answer 1

Допустим, что число - бесконечная периодическая дробь. Тогда, начиная с $k$-ой цифры, некоторая последовательность из $l$ цифр будет повторяться бесконечно. Очевидно, что, после $k$-ой цифры найдутся ненулевые цифры. А значит искомый период длины $l$ содержит хотя бы одну ненулевую цифру.

Также очевидно, что в десятичной записи присутствует число $10^{2l$. В нем одна 1, а за ней следуют $2l$ нулей.

Пусть в период входят одна 1 и $m\: (0\leq m$ нулей этого числа. Но следующие $l$ цифр - нули (т.к. в предыдущее повторение периода вошло меньше, чем $l$ нулей, незадействованными остались $2l-m>2l-l=l$ подряд идущих нулей) - противоречие с тем, что в периоде есть ненулевая цифра.

А значит у дроби нет периода.

Т.к. она бесконечная (число натуральных чисел бесконечно), то иррациональная.

Ответ: число иррационально

Answer 2

Для доказательства иррациональности числа α, предположим, что оно является рациональным, то есть может быть представлено в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, не имеющие общих делителей, и q ≠ 0.

Теперь давайте рассмотрим α - p/q:

α - p/q = 0.123456789101112131415161718192021222324252627282930... - p/q

Заметим, что разница между α и p/q равна бесконечному десятичному разложению без повторяющихся блоков, так как α содержит все натуральные числа. Это означает, что разность α - p/q не может быть представлена конечным десятичным числом. Таким образом, она является бесконечной десятичной дробью без периодических блоков.

Это противоречит определению рационального числа, которое может быть представлено как конечная или периодическая десятичная дробь. Таким образом, разность α - p/q не является рациональным числом.

Из этого следует, что само α не может быть рациональным числом, так как оно равно сумме p/q и α - p/q, и, следовательно, α является иррациональным числом.