Question

Как математически доказать что перемножив уравнения в любой системе найденные корни подойдут к 2м уравнениям системы?2^x*3^y=122^y*3^x=18Примерное доказательство того, что системы можно отниматьНапример есть системаx+y=10x-y=-5т.е.x=10-yx=-5+yОтняв ситемы мы получим, что 10-y=-5+y, тут видно что x сразу будет общий и суть метода понятна.Как таким же способом доказать умножение

Answer 1

2^х•3^у=12
2^у•3^х=18
Перемножим правые и левые части:
2^х•3^х•2^у•3^у=12•18
(2•3)^х • (2•3)^у = (6•2)•(6•3)
6^х • 6^у = 6•6•6
6^(х+у)=6^3
х+у=3
Разделим второе уравнение на первое:
(2^у•3^х)/(2^х•3^у)=18/12
(2^у/3^у)•(3^х/2^х)=3/2
(2/3)^у • (3/2)^х = 3/2
(3/2)^(-у) • (3/2)^х = 3/2
(3/2)^(х-у) = 3/2 это значит, что 3/2 возведена в степень 1
х-у=1
Получаем систему уравнений:
х+у=3
х-у=1
Сложим уравнения:
х+х+у-у=3+1
2х=4
х=2
Вычтем второе уравнение из первого:
х-х+у+у=3-1
2у=2
у=1
Ответ: х=2, у=1

Answer 2

Давайте рассмотрим вашу систему уравнений:

\[ 2^x \cdot 3^y = 12 \] \[ 2^y \cdot 3^x = 18 \]

Для умножения уравнений, мы умножим обе стороны первого уравнения на обе стороны второго уравнения:

\[ (2^x \cdot 3^y) \cdot (2^y \cdot 3^x) = 12 \cdot 18 \]

Раскроем скобки:

\[ 2^{x+y} \cdot 3^{y+x} = 216 \]

Теперь мы видим, что мы можем объединить степени \(x\) и \(y\), потому что степени складываются:

\[ 2^{x+y} \cdot 3^{y+x} = 216 \] \[ 2^{x+y} \cdot 3^{x+y} = 216 \]

Теперь мы можем поделить обе стороны на \(2^{x+y} \cdot 3^{x+y}\):

\[ 1 = \frac{216}{2^{x+y} \cdot 3^{x+y}} \]

Таким образом, мы видим, что уравнения приводят к тому, что правая сторона становится постоянной (1 в данном случае). Это означает, что если \(x\) и \(y\) являются корнями системы, то они также будут корнями умноженной системы уравнений.

Таким образом, математически доказано, что перемножив уравнения в системе, найденные корни также будут корнями умноженной системы уравнений.