Question

Найдите производные функции f(x)=(7x+4)^5

Answer 1

Производная сложной функции

$f(x) = (7x + 4) {}^{5}$

Для начала заменим 7х+4 как u

$f(x) = u {}^{5}$

$f(x) {}^{l} = 5u {}^{4} + u {}^{l}$

$f(x) {}^{l} = 5(7x + 4) {}^{4} + (7x + 4) {}^{l}$

$f(x) {}^{l} = 5(7x + 4) {}^{4} + 7$

По биному Ньютона или треугольнику Паскаля :

$(7x + 4) {}^{4} = (7x) {}^{4} + 4((7x) {}^{3} \times 4) + \\ + 6((7x) {}^{2} \times 4 {}^{2} ) + 4(7x \times 4 {}^{3} ) + 4 {}^{4} = \\ = 2401 {x}^{4} + 16 \times 343x {}^{3} + 96 \times 49x {}^{2} + \\ + 256 \times 7x + 256 = 2401x {}^{4} + 5488x {}^{3} + \\ + 4704x {}^{2} + 1792x + 256$

$f(x) {}^{l} = 5(2401x {}^{4} + 5488x {}^{3} + 4704x {}^{2} + \\ + 1792x + 256) + 7 \\ \\f(x) {}^{l} = 12005x {}^{4} + 27440x {}^{3} + 23520x {}^{2} + \\ + 8960x + 1287$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $f(x) = (7x + 4)^5$, мы можем использовать степенное правило дифференцирования. По этому правилу производная функции $x^n$ равна $nx^{n-1}$, где $n$ - степень.

Применим это правило к функции $f(x) = (7x + 4)^5$:

$f'(x) = 5(7x + 4)^{5-1} \cdot \frac{d}{dx}(7x + 4)$

Теперь вычислим производную $7x + 4$ по переменной $x\, \frac{d}{dx}(7x + 4) = 7$.

Подставим это значение обратно в производную $f(x)$:

$f'(x) = 5(7x + 4)^4 \cdot 7$

Теперь упростим это выражение:

$f'(x) = 35(7x + 4)^4$

Итак, производная функции $f(x) = (7x + 4)^5$ равна $f'(x) = 35(7x + 4)^4$.