Question

Y=(x-1)/(x+1) производная сложной функции

Answer 1

..............................................

Answer 2

Чтобы найти производную сложной функции, необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции, которое называется правилом цепной дифференциации или правилом Лейбница. Правило Лейбница гласит:

Если у нас есть функции f(x) и g(x), то производная их композиции f(g(x)) вычисляется как произведение производной внешней функции f'(g(x)) и производной внутренней функции g'(x).

Теперь давайте применим это правило к заданной функции Y = (x-1)/(x+1).

1. Найдем производную внешней функции f(x)

Функция f(x) в данном случае является делением двух функций: f(x) = u(x)/v(x), где u(x) = x - 1 и v(x) = x + 1.

Для нахождения производной f'(x) внешней функции f(x), мы можем использовать правило дифференцирования частного функций, которое гласит:

Если у нас есть функции u(x) и v(x), то производная их отношения u(x)/v(x) вычисляется как (u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x))/(v(x))^2.

Применяя это правило к функции f(x), получаем:

f'(x) = ((u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x))/(v(x))^2 = ((1*(x+1) - (x-1)*1)/((x+1)^2).

Упростим выражение:

f'(x) = (x + 1 - x + 1)/(x+1)^2 = 2/(x+1)^2.

2. Найдем производную внутренней функции g(x)

Функция g(x) в данном случае является простой функцией g(x) = x.

Производная простой функции g(x) равна 1.

3. Найдем производную композиции функций f(g(x))

Теперь, применяя правило Лейбница, мы можем найти производную композиции функций f(g(x)).

Y'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = (2/(x+1)^2) * 1 = 2/(x+1)^2.

Таким образом, производная функции Y = (x-1)/(x+1) равна 2/(x+1)^2.