Question

найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 11 и запись которого содержит 3 нуля и 9 единиц. ( Можно использовать признак делимости на 11)Ответ дайте в виде целого числа

Answer 1

Ответ: 1001011111111

Пошаговое объяснение:

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11.

При заданных условиях на 11 число разделится только тогда, когда модуль разности будет равен 0 или 11. Но 9 единиц не хватает до 11, а их разность тоже не может быть равна 0 (их нечетное количество). Значит единиц должно быть 10 в минимальном числе.

Минимальное число, которое мы можем оставить из 10 единиц и трех нулей с учетом делимости на 11 = 1001011111111

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 11.

Признак делимости на 11 гласит, что разность суммы цифр на четных позициях и суммы цифр на нечетных позициях числа должна быть кратной 11.

Пусть искомое число записывается как AB0000000...0001, где А и В - цифры.

Сумма цифр на нечетных позициях: А + 0 + 0 + ... + 0 + 1 = А + 1. Сумма цифр на четных позициях: В + 0 + 0 + ... + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = В.

Таким образом, A + 1 - В делится на 11.

С учетом того, что число делится на 11 и запись числа содержит 3 нуля и 9 единиц, возможные варианты значений для (A + 1 - B) могут быть следующими:

0 - 0 = 0 (контрпример, такое число не содержит 3 нуля) 1 - 1 = 0 (контрпример, такое число не содержит 3 нуля) 2 - 2 = 0 (контрпример, такое число не содержит 3 нуля) 3 - 3 = 0 (контрпример, такое число не содержит 3 нуля) 4 - 4 = 0 (контрпример, такое число не содержит 3 нуля) ... 7 - 7 = 0 (контрпример, такое число не содержит 3 нуля) 8 - 8 = 0 (контрпример, такое число не содержит 3 нуля) 9 - 9 = 0 (контрпример, такое число не содержит 3 нуля) 10 - 10 = 0 (контрпример, такое число не содержит 3 нуля) 11 - 11 = 0 (контрпример, такое число не содержит 3 нуля)

Значит, нет такого наименьшего натурального числа, которое бы делилось на 11 и содержало бы 3 нуля и 9 единиц. Ответ: такое число не существует.