Question

Вычислить пределы lim х²-5х³/х-2х²+6х³ x-∞ lim sin3х/х х-0 lim (х/х-3)в степени х х-∞

Answer 1

$1)\; \; \lim\limits _{x \to \infty}\frac{x^2-5x^3}{x-2x^2+6x^3}=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}-5}{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}+6}=-\frac{5}{6}\\\\2)\; \; \lim\limits _{x \to 0}\frac{sin3x}{x}=\lim\limits _{x \to 0}\frac{3\cdot sin3x}{3x}=3\\\\3)\; \; \lim\limits _{x \to \infty}\Big (\frac{x}{x-3}\Big )^{x}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\frac{x-3+3}{x-3}\Big )^{x}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\Big (1+\frac{3}{x-3}\Big )^{\frac{x-3}{3}}\Big )^{\frac{x\cdot 3}{x-3}}=$

$=e^{\lim\limits _{x \to \infty}\frac{3x}{x-3}}=e^3$

Answer 2

1. Первый пример решения

2.пример

3.пример

Answer 3

Давайте вычислим пределы по очереди:

1. lim (x² - 5x³) / (x - 2x² + 6x³) при x -> -∞

Для нахождения этого предела давайте поделим числитель и знаменатель на x³, так как x³ является наибольшей степенью в этой дроби:

lim (x² - 5x³) / (x - 2x² + 6x³) при x -> -∞ = lim (x²/x³ - 5x³/x³) / (x/x³ - 2x²/x³ + 6x³/x³) при x -> -∞ = lim (1/x - 5) / (1/x² - 2/x³ + 6) при x -> -∞

Теперь, когда x стремится к минус бесконечности, все члены, содержащие x в знаменателе, стремятся к нулю, и мы получаем:

= (0 - 5) / (0 - 0 + 6) = -5/6

Таким образом, lim (x² - 5x³) / (x - 2x² + 6x³) при x -> -∞ равен -5/6.

2. lim (sin(3x) / x) при x -> 0

Этот предел известен как предел sinc(x), и он равен 1. Таким образом:

lim (sin(3x) / x) при x -> 0 = 1

3. lim (x / (x - 3))^x при x -> -∞

Для нахождения этого предела, давайте используем свойство экспоненты:

lim (x / (x - 3))^x при x -> -∞ = lim ((1 - 3/x)^(-x))^x при x -> -∞

Теперь используем известный предел (1 - 3/x)^x при x -> ∞, который равен e^(-3):

= (e^(-3))^x при x -> -∞ = e^(-3x) при x -> -∞

Таким образом, lim (x / (x - 3))^x при x -> -∞ равен 0, так как экспонента с отрицательным показателем стремится к нулю.

Итак, результаты пределов:

1. lim (x² - 5x³) / (x - 2x² + 6x³) при x -> -∞ = -5/6
2. lim (sin(3x) / x) при x -> 0 = 1
3. lim (x / (x - 3))^x при x -> -∞ = 0