Question

Маша разложила 520 книг на 9 полках. Получилось так, что на каждой полке число книг кратно 13 и в каждой полке есть хотя бы одна кнога. Докажите, что на каких-то двух полках окажется равное количество книг?

Answer 1

книг ----- 520 к.

полок ---- 9 п.

на каждой ---- кратно 13

доказать ---- есть равное число книг

Решение

    Так как по условию на всех полках число книг кратно 13, значит, на каждой оно делится на 13, т.е. , т.е. число книг на каждой n*13, где n - число натурального ряда

520 : 13 = 40 ----- сумма всех коэффициентов при 13 на всех 9 полках

    Допустим, что все 9 коэффициентов - разные, начиная с 1 и разница между предыдущим и последующим минимальная - только 1

1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

    45 больше 40 , т.е минимальная сумма разных коэффициентов больше, чем получается по условию. Значит, по крайней мере на двух полках коэффициенты одинаковые, Т.е. на них одинаковое число книг. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы можем воспользоваться принципом Дирихле (или принципом ящиков и шаров), который гласит, что если n + 1 или более объектов размещаются в n ящиках, то какой-то ящик должен содержать по крайней мере два объекта.

В данном случае, у нас есть 520 книг и 9 полок. Мы можем рассматривать каждую полку как "ящик" и распределение книг по полкам как "объекты". Если на каждой полке число книг кратно 13, то количество книг на каждой полке должно быть одним из кратных 13 чисел, начиная с 13 и заканчивая 507.

Теперь предположим, что на каждой полке разное количество книг и ни на двух полках нет одинакового количества книг. Тогда у нас будет 9 разных кратных 13 чисел от 13 до 507, и это противоречит принципу Дирихле.

Поэтому, применяя принцип Дирихле, мы можем заключить, что на каких-то двух полках окажется равное количество книг, так как в противном случае было бы 9 разных кратных 13 чисел на полках, что невозможно.