Question

Обчисліть площу фігури, обмеженою параболаю y=-x^2+6 і прямою y=2x+3.

Answer 1

Найдём предел интеграла↓
$-x^2+6=2x+3$
$-x^2+6-2x-3=0$
$x^2+2x-3=0$
$D=16$
$x_{1,2} = \frac{-2(+/-)4}{2}$
$\left \{ {{ x_{1} =-3} \atop { x_{2} =1}} \right.$
$\int\limits^1_{-3} (3-2x-x^2)dx= \int\limits3-2x-x^2dx|1;-3$=$3*1-1^2- \frac{1^3}{3} -(3*(-3)-(-3)^2- \frac{(-3)^3}{3} )= \frac{32}{3}$
Ответ: $\frac{32}{3}$

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої параболою y = -x^2 + 6 та прямою y = 2x + 3, ми можемо скористатися методом інтегрування.

Спочатку, нам потрібно знайти точки перетину цих двох кривих. Для цього рівняємо їх рівняння: -y = -x^2 + 6 2x + 3 = -x^2 + 6

Перепишемо перше рівняння: x^2 + y = 6

Підставимо друге рівняння в перше: x^2 + (2x + 3) = 6

x^2 + 2x + 3 = 6

x^2 + 2x - 3 = 0

Тепер, застосуємо квадратне рівняння, щоб знайти значення x: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

У нашому випадку, a = 1, b = 2 і c = -3. Підставимо ці значення: x = (-2 ± √(2^2 - 4*1*(-3))) / (2*1) x = (-2 ± √(4 + 12)) / 2 x = (-2 ± √16) / 2 x = (-2 ± 4) / 2

Таким чином, отримуємо два значення x: x1 = (-2 + 4) / 2 = 1 x2 = (-2 - 4) / 2 = -3

Тепер, підставимо ці значення x в одне з рівнянь, наприклад y = -x^2 + 6, щоб знайти відповідні значення y: y1 = -(1)^2 + 6 = 5 y2 = -(-3)^2 + 6 = 15

Отже, ми маємо дві точки перетину: (1, 5) та (-3, 15).

Далі, нам потрібно знайти точки перетину цих двох кривих та обчислити площу між ними. Ми можемо це зробити за допомогою інтегралу від x = -3 до x = 1 функції (2x + 3) - (-x^2 + 6).

Інтегруючи цю функцію, отримуємо: ∫[(2x + 3) - (-x^2 + 6)] dx = ∫(3x + x^2 - 3) dx

Далі, обчислимо цей інтеграл: ∫(3x + x^2 - 3) dx = (3/2)x^2 + (1/3)x^3 - 3x + C

Підставимо межі інтегрування x = -3 та x = 1: [(3/2)(1)^2 + (1/3)(1)^3 - 3(1)] - [(3/2)(-3)^2 + (1/3)(-3)^3 - 3(-3)]

Після обчислення, отримуємо: (3/2 + 1/3 - 3) - (27/2 - 9 + 9)

Спрощуючи, отримуємо: (9/6 + 2/6 - 18/6) - (54/6 - 18/6 + 18/6) -7/6 - 54/6 + 18/6 -43/6

Отже, площа фігури, обмеженої параболою y = -x^2 + 6 та прямою y = 2x + 3, дорівнює -43/6.