Question

Найти общее решение дифференциального уравнения с разделёнными разделяющимися переменными 2(xy+y)dx=xdy

Answer 1

2(xy+y)dx = xdy ;
2(y+y/x)dx = dy ;
2y(1+1/x)dx = dy ;
dx + dx/x = 1/2 dy/y ;
1/2 ln|y| = x + ln|x| + C3 ;
ln|y| = 2x + 2ln|x| + C2 ;
|y| = C1*e^[ 2 ( x + ln|x| ) ] ; C1 >= 0 ;
y = C e^[ 2 ( x + ln|x| ) ] ; C – любое ;
y = C e^(2x) e^lnx² ;
y = C x² e^(2x) ; C – любое .

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения с разделёнными переменными 2(xy + y)dx = xdy, мы можем разделить переменные, переместив все члены с "x" на одну сторону и все члены с "y" на другую сторону. Затем проинтегрируем обе стороны уравнения:

2(xy + y)dx = xdy

Разделим обе стороны на (xy + y)dx:

2dx/x = dy/y

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(2dx/x) = ∫(dy/y)

Интегрируя, получим:

2∫(1/x)dx = ∫(1/y)dy

2ln|x| + C₁ = ln|y| + C₂

Где C₁ и C₂ - константы интеграции.

Теперь объединим логарифмы и выразим y:

ln|x²| + C₁ = ln|y| + C₂

ln|x²| - ln|y| = C₂ - C₁

ln|x²/y| = C

Где C = C₂ - C₁ - тоже константа интеграции. Теперь выразим y:

x²/y = e^C

y = x²/e^C

Теперь, чтобы найти общее решение, выразим e^C как новую константу K:

y = Kx²

Итак, общее решение дифференциального уравнения 2(xy + y)dx = xdy:

y = Kx², где K - произвольная постоянная.